La derivata destra
Data una funzione definita in un intorno destro del punto x0, la funzione f(x) è derivabile da destra in x0 se esiste ed è finito il limite destro del rapporto incrementale tra x0 e x per x tendente a x0. $$ f'_+(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$ poiché Δx=x-x0 si può scrivere anche $$ f'_+(x_0) = \lim_{Δx \rightarrow 0^+} \frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx} $$ detta derivata destra di f(x)
In questo caso prendo in considerazione soltanto l'intorno destro del punto x0.
L'intorno a sinistra di x0 non lo prendo in considerazione.
Nota. In alcuni testi il punto x è indicato come x0+δ ma il concetto è sempre lo stesso. Si tratta di un punto a destra di x0 che il limite fa convergere verso x0.
Un esempio pratico
Devo verificare se esiste la derivata destra della funzione f(x)=|x| nel punto x0=2
$$ f(x) = 2 $$
Calcolo il limite nell'intorno destro di x0
$$ f'_+(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
$$ f'_+(2) = \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} $$
$$ f'_+(2) = \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{|x|-|2|}{x-2} $$
poiché nel limite x è sempre positivo.
$$ f'_+(2) = \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{x-2}{x-2} = +1 $$
La derivata destra della funzione f(x) nel punto x0=2 è +1.
E così via.
