Derivata della funzione coseno
Definizione
La derivata del coseno è $$ D[cos x] = -sin x $$
Questa formula vale quando l'angolo è espresso in radianti.
Se invece \( x \) è misurato in gradi, compare il fattore di conversione:
\[ D \cos x = -\frac{\pi}{180^\circ}\sin x \]
Un esempio pratico
Prendo come esempio la seguente funzione
$$ f(x) = cos \: (x^2)$$
Attenzione. Quando la funzione coseno non è semplice si tratta di una funzione composta del tipo f(g(x)). Quindi il risultato della precedente funzione non è semplicemente cos(x2) perchè va applicata la regola di derivazione delle funzioni composte.
Essendo una funzione composta e devo applicare la regola
$$ f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
dove
$$ f'(g(x)) = D[cos(g(x))] = -sin(x^2) $$
$$ g'(x) = D[x^2] = 2x $$
Ora, sostituendo i valori la derivata della funzione composta diventa
$$ f'(x) = f'(h(x)) \cdot g'(x) $$
$$ f'(x) = -sin(x^2) \cdot 2x $$
In conclusione la derivata della funzione cos x2 è
$$ f'(x) = - 2x sin(x^2) $$
La rappresentazione grafica
La dimostrazione
Calcolo il rapporto incrementale della funzione coseno.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{cos(x+h)-cos(x)}{h} $$
Secondo una formula trigonometrica
$$ cos \: a - cos \: b = -2sin \frac{a-b}{2} \cdot sin \frac{a+b}{2} $$
Posso applicare questa formula al numeratore del rapporto incrementale dove
$$ a = x+h $$
$$ b = x $$
Quindi riscrivo il rapporto incrementale in questa forma
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ -2 \cdot sin \: \frac{x+h-x}{2} \cdot sin \: \frac{x+h+x}{2}}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ -2 \cdot sin \: \frac{h}{2} \cdot sin \: x+ \frac{h}{2}}{h} $$
Moltiplico numeratore e denominatore per 1/2.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ -2 \cdot sin \: \frac{h}{2} \cdot sin \: x+ \frac{h}{2}}{h} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} \cdot sin \: x+ \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} \cdot sin \: x+ \frac{h}{2} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} sin \: x+ \frac{h}{2} $$
Ho così ottenuto due limiti e posso calcolarli separatamente.
Il primo limite è un limite notevole
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin \: x}{x} = 1 $$
quindi con x=h/2
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} $$
$$ -1 \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} = -1 \cdot 1 = -1 $$
Il secondo limite è facilmente calcolabile.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} sin \: x+ \frac{h}{2} = sin \: x $$
Pertanto
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ - sin \: \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} sin \: x+ \frac{h}{2} = -1 \cdot sin \:x $$
Ho così dimostrato che la derivata di cos x è -sin x.
La rappresentazione grafica
Dimostrazione alternativa
Devo calcolare la derivata della funzione
\[ f(x)=\cos x \]
Per farlo utilizzo la definizione di derivata.
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sostituisco \( f(x)=\cos x \):
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \]
Ora uso la formula di addizione del coseno:
\[ \cos(x+h)=\cos x \cos h-\sin x \sin h \]
Sostituendo nella formula ottengo
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h} \]
Raccolgo \( \cos x \) nei termini in cui compare:
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x \sin h}{h} \]
Ora separo la frazione nei due termini:
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \cdot \frac{\cos h-1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \right] \]
Poiché \( \cos x \) e \( \sin x \) non dipendono da \( h \), posso considerarli costanti rispetto al limite.
Uso ora i limiti notevoli:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}=1 \]
e
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 \]
Quindi ottengo
\[ f'(x)= \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 \]
Da cui segue:
\[ f'(x)=-\sin x \]
Pertanto, la derivata del coseno è l'opposto del seno.
\[ D \cos x = -\sin x \]
Come volevasi dimostrare.
E così via.
