Derivata della secante

La derivata prima della funzione secante è $$ D[ \sec \ x] = \frac{ \sin x }{ \cos^2 x} = \sec \ x \cdot \tan \ x $$

Dimostrazione

La secante è il reciproco del coseno

$$ \sec x = \frac{1}{ \cos x } $$

Quindi posso riscrivere la derivata prima della secante in questa forma equivalente

$$ D[ \sec \ x] = D [ \frac{1}{ \cos x } ]$$

$$D[ \sec \ x] = \frac{D[1] \cdot \cos x - 1 \cdot D[ \cos x ] }{ \cos^2 x } $$

La derivata di una costante è nulla D[1]=0.

La derivata del coseno è meno seno D[cos x]=-sin x.

$$ D[ \sec \ x] = \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot ( - \sin x ) }{ \cos^2 x } $$

$$ D[ \sec \ x] = \frac{ \sin x }{ \cos^2 x } $$

Riscrivo l'equazione in questa forma equivalente

$$ D[ \sec \ x] = \frac{ \sin x }{ \cos x } \cdot \frac{1}{ \cos x} $$

In trigonometria il rapporto sin/cos è la tangente.

$$ D[ \sec \ x] = \tan \ x \cdot \frac{1}{ \cos x} $$

Il reciproco del seno è invece la secante ossia sec=1/cos.

$$ D[ \sec \ x] = \tan \ x \cdot \sec x $$

In questo modo ho dimostrato la derivata prima della cosecante.

E così via.