La derivata del valore assoluto
Definizione
La derivata del valore assoluto |x| è la funzione segno $$ D[ \: |x| \: ] = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} $$
La funzione segno si può scrivere sia mettendo il valore assoluto |x| al numeratore che al denominatore.
Il risultato finale è sempre lo stesso.
Dimostrazione
La funzione del valore assoluto
$$ f(x)=|x| $$
posso scriverla anche in questa forma equivalente
$$ f(x)=\sqrt{x^2} $$
Nota. Il valore assoluto di una variabile |x| è uguale alla radice quadrata della potenza della variabile x al quadrato.
Sapendo che la derivata di una radice quadrata è
$$ D[\sqrt{x}]=\frac{1}{2 \sqrt{x}} $$
posso applicare questa regola di derivazione alla funzione f(x)
$$ D[\sqrt{x^2}]=\frac{2x}{2 \sqrt{x^2}}= \frac{x}{\sqrt{x^2}}$$
Ho ottenuto la derivata della funzione f(x)
$$ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2}}$$
Sapendo che la radice di x2 equivale a |x|, posso riscrivere la funzione f'(x) in questa forma
$$ f'(x) = \frac{x}{|x|}$$
Ho così ottenuto come derivata di |x| la funzione segno ossia sgn(x).
La funzione segno assume il valore 1 quando la x è positiva (x>0) e il valore -1 quando la x è negativa (x<0).
Nota. La funzione segno non è derivabile per x=0.
Metodo alternativo
Posso dimostrare la derivata del valore assoluto anche in modo alternativo.
Riscrivo la funzione f(x) = |x| in questa forma equivalente:
$$ f(x) = \begin{cases} f(x)=x \:\: se \:\: x \gt 0 \\ f(x)=-x \:\: se \:\: x \lt 0 \end{cases} $$
Derivo le singole funzioni e ottengo
$$ f'(x) = \begin{cases} f'(x)=1 \:\: se \:\: x \gt 0 \\ f'(x)=-1 \:\: se \:\: x \lt 0 \end{cases} $$
Ho così raggiunto lo stesso risultato, la derivata è la funzione segno
$$ f'(x) = sgn \: x $$
E così via.
