La derivata del reciproco di una funzione
Sia \( f(x) \) una funzione derivabile e diversa da zero, la derivata del suo reciproco si ottiene prendendo l'opposto della derivata della funzione e dividendolo per il quadrato della funzione stessa. \[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)'= -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \] La regola è valida soltanto nei punti in cui \( f(x)\neq 0 \) poiché il reciproco di una funzione non è definito quando il denominatore si annulla.
La regola mostra che la derivata del reciproco dipende da due elementi:
- dalla velocità di variazione della funzione \( f(x) \), rappresentata da \( f'(x) \)
- dal valore assunto dalla funzione, che compare al quadrato nel denominatore
Il segno meno indica che il reciproco varia in senso opposto rispetto alla funzione originaria. Se \( f(x) \) aumenta, il suo reciproco tende a diminuire. Se invece (f(x)) diminuisce, il reciproco tende ad aumentare.
Esempio
Calcolo la derivata della funzione
\[ y=\frac{1}{\sin x} \]
La funzione interna è
\[ f(x)=\sin x \]
e la sua derivata è
\[ f'(x)=\cos x \]
Applicando la regola del reciproco:
\[ y' = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \]
Esempio 2
Considero la funzione
\[ y=\frac{5}{x^3-2} \]
Porto fuori il coefficiente costante:
\[ y= 5\cdot\frac{1}{x^3-2} \]
La funzione al denominatore è
\[ f(x)=x^3-2 \]
e la sua derivata vale
\[ f'(x)=3x^2 \]
Applicando la formula:
\[ y' = 5\left( -\frac{3x^2}{(x^3-2)^2} \right) \]
Ottengo quindi
\[ y' = -\frac{15x^2}{(x^3-2)^2} \]
Dimostrazione
Considero la funzione
\[ y=\frac{1}{f(x)} \]
Applico la definizione di derivata:
\[ y'= \lim_{h\to0} \frac{\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}}{h} \]
\[ y'= \lim_{h\to0} \frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)} \cdot \frac{1 }{h} \]
Riduco le due frazioni a un denominatore comune:
\[ y'= \lim_{h\to0} \frac{f(x)-f(x+h)} {f(x)f(x+h)} \cdot \frac{1}{h} \]
Poi riscrivo l'espressione in questa forma equivalente
\[ y'= \lim_{h\to0} \frac{f(x) - f(x+h)}{h} \cdot \frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Raccolgo il segno meno:
\[ y'= \lim_{h\to0} -1 \cdot \left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) \cdot \frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Il fattore \( -1 \) è una costante e non dipende da \( h \). Pertanto, in base alle proprietà dei limiti, posso portarlo all'esterno del limite.
\[ y'= -1 \cdot \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \frac{1}{f(x)f(x+h)} ) \]
Poi separo il limite nel prodotto di due limiti:
\[ y'= -\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h\to0} \frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Il primo limite è, per definizione, la derivata della funzione:
\[ y'= - \underbrace{ \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} }_{ f'(x) } \cdot \lim_{h\to0} \frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Quindi sostituisco \( f'(x) \) al primo limite
\[ y'= - f'(x) \cdot \lim_{h\to0} \frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Poiché una funzione derivabile è anche continua \( \lim_{h\to0}f(x+h)=f(x) \). Sostituisco e ottengo:
\[ y'= - f'(x) \cdot \lim_{h\to0} \frac{1}{f(x) \cdot f(x)} \]
\[ y'= - f'(x) \cdot \lim_{h\to0} \frac{1}{f^2(x)} \]
Ora il secondo limite è indipendente da \( h \), quindi:
\[ y'= - f'(x) \cdot \frac{1}{f^2(x) } \]
\[ y'= -\frac{f'(x)}{f^2(x)} \]
Come volevasi dimostrare
Dimostrazione 2
In alternativa, la formula può essere vista come un caso particolare della derivata della potenza negativa
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)'= -\frac{f'(x)}{f^2(x)} \]
Questo perché il reciproco di una funzione posso scriverlo come una potenza con esponente \( -1 \):
\[ \frac{1}{f(x)}=[f(x)]^{-1} \]
Quindi, l'espressione iniziale posso anche scriverla in questo modo:
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = \left( [f(x)]^{-1} \right)' \]
Sapendo che la regola di derivazione delle potenze di una funzione composta è:
\[ \frac{d}{dx}[f(x)]^n=n[f(x)]^{n-1}f'(x) \]
Ponendo \(n=-1 \), ottengo:
\[ \frac{d}{dx}[f(x)]^{-1} = (-1)[f(x)]^{(-1-1)}f'(x) \]
\[ \frac{d}{dx}[f(x)]^{-1} = -[f(x)]^{-2}f'(x) \]
\[ \frac{d}{dx}[f(x)]^{-1} = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \]
Ho così trovato la formula della derivata del reciproco.
Nota. Questo dimostra che la regola del reciproco non è una formula indipendente, ma una conseguenza diretta della regola generale di derivazione delle potenze applicata all'esponente negativo \( n=-1 \). Per questo motivo molti testi la considerano un caso particolare della derivata della funzione composta elevata a una potenza.
Dimostrazione 3
La formula può essere ottenuta anche come caso particolare della regola di derivazione del quoziente.
Considero la derivata del reciproco di una funzione:
\[ \left( \frac{1}{f(x)} \right)' \]
Assegno \( u(x)=1 \):
\[ \left( \frac{u(x)}{f(x)} \right)' \]
Poi applico la regola della derivata del quoziente di due funzioni:
\[ \left(\frac{u(x)}{f(x)}\right)' = \frac{u'(x)f(x)-u(x)f'(x)}{[f(x)]^2} \]
Poiché la derivata della costante \( u(x)=1 \) è nulla, \( u'(x)=0 \), ottengo:
\[ \left(\frac{u(x)}{f(x)}\right)' = \frac{0\cdot f(x)-u(x)\cdot f'(x)} {[f(x)]^2} \]
\[ \left(\frac{u(x)}{f(x)}\right)' = \frac{-u(x)\cdot f'(x)} {[f(x)]^2} \]
Sapendo che \( u(x)=1 \)
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = \frac{-1 \cdot f'(x)} {[f(x)]^2} \]
Semplificando, giungo alla formula cercata.
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = -\frac{f'(x)} {[f(x)]^2} \]
E così via.
