La derivata di una matrice

La derivata di una matrice rispetto a una variabile scalare o vettoriale si basa sul calcolo della derivata di ciascun elemento della matrice, in modo analogo alla derivata delle funzioni.

Ecco i principali casi con esempi pratici:

Derivata di una matrice rispetto a una variabile scalare
Derivata di una matrice rispetto a un vettore

Derivata di una matrice rispetto a una variabile scalare

La derivata di una matrice $ A(t) $, i cui elementi dipendono da una variabile scalare $ t $, è una nuova matrice in cui ciascun elemento è ottenuto derivando l'elemento corrispondente di $ A(t) $ rispetto a $ t $.

Un esempio pratico

Considero questa matrice 2x2

$$ \mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} t^2 & \sin(t) \\ e^t & t + 1 \end{bmatrix} $$

Si tratta di una funzione matriciale $ \mathbf{A}(t) $, che dipende da una variabile scalare $ t $.

Voglio calcolare la derivata di $ \mathbf{A}(t) $ rispetto a $ t $. Per farlo, devo derivare ogni elemento della matrice separatamente rispetto a $ t $.

Derivo ogni singolo elemento della matrice.

$ \frac{d}{dt} \left( t^2 \right) = 2t $
$ \frac{d}{dt} \left( \sin(t) \right) = \cos(t) $
$ \frac{d}{dt} \left( e^t \right) = e^t $
$ \frac{d}{dt} \left( t + 1 \right) = 1 $

Quindi, la derivata di $ \mathbf{A}(t) $ rispetto a $ t $ è:

$$ \frac{d\mathbf{A}(t)}{dt} = \begin{bmatrix} 2t & \cos(t) \\ e^t & 1 \end{bmatrix} $$

Questo è un esempio di derivata di una matrice i cui elementi dipendono da una variabile scalare $ t $.

Derivata di una matrice rispetto a un vettore

La derivata di una matrice $ A(\mathbf{x}) $, i cui elementi dipendono da un vettore $ \mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^T $, è una nuova matrice (o un tensore) in cui ciascun elemento è dato dalla derivata parziale dell'elemento corrispondente di $ A(\mathbf{x}) $ rispetto a ciascuna componente del vettore $ \mathbf{x} $.

Questo processo genera un tensore che contiene tutte le derivate parziali.

Un esempio pratico

Considero una matrice $ \mathbf{B}(\mathbf{x}) $ che dipende da un vettore $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $.

$$ \mathbf{B}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1^2 & x_1 x_2 \\ x_1 + x_2 & x_2^2 \end{bmatrix} $$

Per calcolare la derivata della matrice $ \mathbf{B} $ rispetto al vettore $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $, devo calcolare le derivate parziali della matrice rispetto a ciascuna componente del vettore $ x_1 $ e $ x_2 $.

Le derivate parziali rispetto a $ x_1 $ sono le seguenti:

$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1^2) = 2x_1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1 x_2) = x_2 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1 + x_2) = 1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_2^2) = 0 $

Quindi, la matrice delle derivate parziali rispetto a $ x_1 $ è:

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_1} = \begin{bmatrix} 2x_1 & x_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

Le derivate parziali rispetto a $ x_2 $ sono:

$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1^2) = 0 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1 x_2) = x_1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1 + x_2) = 1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_2^2) = 2x_2 $

Quindi, la matrice delle derivate parziali rispetto a $ x_2 $ è:

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_2} = \begin{bmatrix} 0 & x_1 \\ 1 & 2x_2 \end{bmatrix} $$

Metto insieme le derivate parziali e ottengo la matrice Jacobiana, che posso pensare come un array tridimensionale (o tensore).

$$ \mathbf{J}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_1}, \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x_1 & x_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & x_1 \\ 1 & 2x_2 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $$

Il risultato finale è la matrice Jacobiana di $ \mathbf{B} $.

In questo caso, poiché $ \mathbf{B} $ ha dimensioni $ 2 \times 2 $ e $ \mathbf{x} $ ha dimensioni $ 2 \times 1 $, la matrice Jacobiana è semplicemente un tensore di dimensioni $ 2 \times 2 \times 2 $.

Esempio 2

Considero una funzione che mappa un vettore $ \mathbf{x} = [x, y]^T $ a una matrice $ A(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} xy & x^2 \\ y^2 & xy \end{bmatrix} $.

Per calcolare la derivata di $ A $ rispetto a $ \mathbf{x} $, calcolo tutte le derivate parziali:

Derivata rispetto a $ x $: $$ \frac{\partial A}{\partial x} = \begin{bmatrix} y & 2x \\ 0 & y \end{bmatrix} $$
Derivata rispetto a $ y $: $$ \frac{\partial A}{\partial y} = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 2y & x \end{bmatrix} $$

Queste matrici costituiscono la Jacobiana della funzione matriciale rispetto al vettore $ \mathbf{x} $.

$$ \mathbf{J}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial A}{\partial x} & \frac{\partial A}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} y & 2x \\ 0 & y \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} x & 0 \\ 2y & x \end{bmatrix} \end{bmatrix} $$

E così via.