Teorema di Cauchy
Date due funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) continue nell'intervallo chiuso \([a,b] \) e derivabili in ogni punto dell'intervallo aperto \((a,b) \) con la derivata della funzione \( g(x) \) diversa da zero \( g'(x)\neq0 \) per ogni \( x\in(a,b) \), allora esiste almeno un punto \( c\in(a,b) \) tale che \[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \]
In altre parole, il rapporto tra gli incrementi delle due funzioni nell'intervallo è uguale al rapporto tra le rispettive derivate calcolate in un opportuno punto interno.
Il teorema mette in relazione il rapporto tra gli incrementi di due funzioni con il rapporto tra le loro derivate in un opportuno punto dell'intervallo.
Se due funzioni soddisfano determinate condizioni di regolarità, esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui il rapporto tra le derivate coincide con il rapporto tra gli incrementi delle funzioni.
Perché è importante? Il teorema di Cauchy estende il teorema di Lagrange al caso di due funzioni. Infatti, se scelgo \(
g(x)=x \), la sua derivata è \( g'(x)=1 \) e la formula \[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \] diventa \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \] che coincide esattamente con il teorema di Lagrange. Per questo motivo il teorema di Cauchy è considerato una generalizzazione del risultato di Lagrange ed è il punto di partenza per dimostrare il teorema di de l'Hôpital.
Un esempio pratico
Considero le funzioni \( f(x)=x^2 \) e \( g(x)=x+1 \) nell'intervallo \( [1,3] \).
Entrambe sono continue e derivabili, mentre
\[ g'(x)=1\neq0 \]
Calcolo il rapporto tra gli incrementi:
\[ \frac{f(3)-f(1)}{g(3)-g(1)} = \frac{9-1}{4-2} = 4 \]
Le derivate sono \( f'(x)=2x \) e \( g'(x)=1 \).
Il rapporto tra le derivate è
\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = 2c \]
Imponendo \( 2c=4 \) ottengo il punto:
\[ c=2 \]
Il punto \( c=4 \) appartiene all'intervallo ((1,3)). Quindi, il teorema risulta verificato.
Qual è il significato geometrico?
Nel punto \(c=2 \) il rapporto tra le velocità di variazione istantanee delle due funzioni è uguale al rapporto tra le loro variazioni complessive nell'intervallo \([1,3]\).
In altre parole, il punto \( c=2 \) è il punto in cui il rapporto tra le pendenze delle rette tangenti ai grafici di \( f \) e \( g \) è uguale al rapporto tra le pendenze delle rette secanti che uniscono gli estremi dell'intervallo.
Nota. La condizione \( g'(x)\neq0 \) è fondamentale perché garantisce che il rapporto tra le derivate sia sempre definito e impedisce che il denominatore si annulli.
La dimostrazione
Per ipotesi iniziale due funzioni \(f(x) \) e \(g(x) \) sono continue in \( [a,b] \) e derivabili in \( (a,b) \).
Per dimostrare il teorema di Cauchy costruisco una funzione ausiliaria a partire da \(f(x) \) e \(g(x) \) con \(k\in \mathbb{R} \).
\[ F(x)=f(x)-k g(x) \]
Poiché \(f(x) \) e \(g(x) \) sono continue in \( [a,b] \) e derivabili in \( (a,b) \) per ipotesi iniziale, anche (F(x)) è continua in \([a,b] \) e derivabile in \((a,b)\).
Scelgo il coefficiente \(k \) in modo che la funzione \( F(x) \) soddisfi l'ipotesi
\[ F(a)=F(b) \]
Quindi deve essere
\[ f(a)-kg(a)=f(b)-kg(b) \]
Porto i termini con \( k \) da una parte:
\[ k[g(b)-g(a)]=f(b)-f(a) \]
Da cui
\[ k=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]
Con questa scelta di \( k \), la funzione diventa
\[ F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x) \]
In questo modo la funzione \( F(x) \) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle.
Quindi esiste almeno un punto \( c\in(a,b) \) tale che
\[ F'(c)=0 \]
Ora derivo \(F(x) \):
\[ F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x) \]
Nel punto \( c \) vale:
\[ F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)=0 \]
Pertanto,
\[ f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)=0 \]
\[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) \]
Dividendo per \(g'(c) \), che per ipotesi è diverso da zero, ottengo
\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]
Quindi, esiste almeno un punto \( c \) interno all'intervallo \( (a,b) \) in cui il rapporto tra le derivate delle due funzioni è uguale al rapporto tra i loro incrementi.
\[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \]
Questo dimostra il teorema di Cauchy.
E così via.
