La derivata del logaritmo

La derivata del logaritmo in base a>0 in un punto x>0 è $$ D[ \log_a x ] = \frac{1}{x} \log_a e $$ mentre la derivata del logaritmo naturale è $$ D[ \log x ] = D[ \log_e x ] = D[ \ln x ] = \frac{1}{x} $$ .

Un esempio pratico

In questo esercizio studio la seguente funzione f(x)

$$ f(x) = log(2x+3) $$

Si tratta di una funzione composta dalla funzione h(x) del logaritmo naturale e da g(x)=2x+3.

$$ h(g(x)) = log(g(x)) $$

$$ g(x) = 2x+3 $$

Pertanto, devo applicare la regola di derivazione delle funzioni composte.

$$ f'(x) = D[h(g(x))] \cdot D[g(x)] $$

$$ f'(x) = D[log(2x+3)] \cdot D[2x+3] $$

Nel primo caso la derivata del logaritmo naturale log(x) è 1/x.

Pertanto, la derivata di log(2x+3) è uguale a 1/(2x+3)

$$ f'(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot D[g(x)] $$

mentre la derivata di g(x)=2x+3 è 2

$$ f'(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot 2 $$

Quindi la derivata della funzione f(x) è

$$ f'(x) = \frac{2}{2x+3} $$

Dimostrazione

Il limite del rapporto incrementale di una funzione è

$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

In questo caso la funzione f(x) è

$$ f(x) = log_a x $$

Lo sostituisco nel rapporto incrementale

$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{log_a(x+h)-log_a(x)}{h} $$

Semplifico il rapporto incrementale con alcuni passaggi algebrici

$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot log_a(x+h)-log_a x $$

$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot log_a \frac{x+h}{x} $$

Spiegazione. Il logaritmo di una frazione è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e quello del denominatore. $$ \log_x \frac{a}{b} = \log_x a - \log_x b $$

$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} log_a ( \frac{x+h}{x} ) ^{\frac{1}{h}} $$

Spiegazione. Il logaritmo di una potenza ba è uguale al prodotto tra l'esponente (a) e il logaritmo di b. $$ \log_x b^a = a \cdot \log_x b $$

$$ f'(x) = \log_a \lim_{h \rightarrow 0} ( \frac{x+h}{x} ) ^{\frac{1}{h}} $$

$$ f'(x) = \log_a \lim_{h \rightarrow 0} ( 1+\frac{h}{x} ) ^{\frac{1}{h}} $$

Riscrivo il rapporto h/x nella forma equivalente (1/x)/(1/h)

$$ f'(x) = \log_a \lim_{h \rightarrow 0} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} ) ^{\frac{1}{h}} $$

Per h che tende a zero, il rapporto 1/h tende a infinito.

In questo modo ho ricondotto il limite al limite notevole che tende a e1/x.

$$ f'(x) = \log_a [ \ \lim_{h \rightarrow 0} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} ) ^{\frac{1}{h}} \ ] = f'(x) = \log_a [ e^{\frac{1}{x}} ] $$

$$ f'(x) = \log_a e^{\frac{1}{x}} $$

Spiegazione. Il limite precedente $$ \lim_{h \rightarrow 0} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} ) ^{\frac{1}{h}} $$ posso riscriverlo in una forma equivalente con un cambio di variabile y=1/h. Per h→0 la nuova variabile tende a infinito y→∞. $$ \lim_{y \rightarrow \infty} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{y} ) ^y $$ E' il limite notevole che tende al numero di Nepero (e) elevato a 1/x. $$ \lim_{y \rightarrow \infty} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{y} ) ^y = e ^{\frac{1}{x}} $$

Dopo un ulteriore passaggio algebrico ottengo la regola di derivazione

$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot log_a e $$

Spiegazione. E' una proprietà dei logaritmi che ho già usato in precedenza. Il logaritmo di una potenza ba è uguale al prodotto tra l'esponente (a) e il logaritmo di b. $$ \log_x b^a = a \cdot \log_x b $$ In questo caso la uso nel verso opposto per far uscire l'esponente dall'argomento del logaritmo.

Ho così dimostrato la formula della derivata del logaritmo su base a.

$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot log_a e $$

Il caso del logaritmo naturale

Nel caso del logaritmo naturale la base a=e è il numero di Nepero.

$$ \ln e = \log_e e $$

L'argomento e la base del logaritmo sono uguali, quindi il risultato del logaritmo è 1.

$$ \ln e = \log_e e = \log e = 1 $$

Spiegazione. Quando l'argomento e la base del logaritmo sono uguali, l'esponente x per eguagliare la base bx all'argomento del logaritmo è necessariamente uno. $$ x= \log_b k \Rightarrow b^x =k $$

Quindi la derivata del logaritmo naturale si semplifica ulteriormente in

$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot log_a e = \frac{1}{x} \cdot 1 \ = \frac{1}{x} $$

E così via.

 


 

Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

FacebookTwitterLinkedinLinkedin
knowledge base

Le derivate