La derivata del logaritmo
La derivata del logaritmo in base a>0 in un punto x>0 è $$ D[ \log_a x ] = \frac{1}{x} \log_a e $$ mentre la derivata del logaritmo naturale è $$ D[ \log x ] = D[ \log_e x ] = D[ \ln x ] = \frac{1}{x} $$ .
Un esempio pratico
In questo esercizio studio la seguente funzione f(x)
$$ f(x) = log(2x+3) $$
Si tratta di una funzione composta dalla funzione h(x) del logaritmo naturale e da g(x)=2x+3.
$$ h(g(x)) = log(g(x)) $$
$$ g(x) = 2x+3 $$
Pertanto, devo applicare la regola di derivazione delle funzioni composte.
$$ f'(x) = D[h(g(x))] \cdot D[g(x)] $$
$$ f'(x) = D[log(2x+3)] \cdot D[2x+3] $$
Nel primo caso la derivata del logaritmo naturale log(x) è 1/x.
Pertanto, la derivata di log(2x+3) è uguale a 1/(2x+3)
$$ f'(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot D[g(x)] $$
mentre la derivata di g(x)=2x+3 è 2
$$ f'(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot 2 $$
Quindi la derivata della funzione f(x) è
$$ f'(x) = \frac{2}{2x+3} $$
Dimostrazione
Considero la definizione di derivata
\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sostituisco $ f(x) = \log_a x $ e $ f(x+h)= \log_a(x+h) $.
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a x}{h} \]
Utilizzo la proprietà dei logaritmi \( \log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y} \)
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{ \log_a\frac{x+h}{x} }{h} \]
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{ \log_a\left(1+\frac{h}{x}\right) }{h} \]
Moltiplico e divido il denominatore $ h $ per $ x $
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{ \log_a\left(1+\frac{h}{x}\right) }{h \cdot \frac{x}{x}} \]
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{ \log_a\left(1+\frac{h}{x}\right) }{ \frac{h}{x} \cdot x} \]
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{ \log_a\left(1+\frac{h}{x}\right) }{ \frac{h}{x} } \cdot \frac1x \]
Poiché $ \frac1x $ è costante rispetto a $ h $, posso farlo uscire dal limite
\[ f'(x) = \frac1x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{ \log_a\left(1+\frac{h}{x}\right) }{ \frac{h}{x} } \]
In questo modo ho trovato un limite notevole
$$ \lim_{h\to 0} \log_a \frac{1+t}{t} = \log_a e $$
con $ t = \frac{h}{x} $
Pertanto, il risultato finale è
\[ f'(x)=\frac{1}{x}\cdot \log_a e \]
Come volevasi dimostrare
La derivata del logaritmo naturale
Nel caso del logaritmo naturale la base è \( a=e \).
Sostituisco la base nella formula della derivata del logaritmo che ho appena trovato
\[ f'(x)=\frac{1}{x}\cdot \log_e e \]
Poiché $ \log_e e = 1 $ la derivata del logaritmo naturale è
\[ D \ln x=\frac{1}{x} \]
Come volevasi dimostrare
Dimostrazione alternativa
Il limite del rapporto incrementale di una funzione è
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
In questo caso la funzione f(x) è
$$ f(x) = log_a x $$
Lo sostituisco nel rapporto incrementale
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{log_a(x+h)-log_a(x)}{h} $$
Semplifico il rapporto incrementale con alcuni passaggi algebrici
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot log_a(x+h)-log_a x $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot log_a \frac{x+h}{x} $$
Spiegazione. Il logaritmo di una frazione è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e quello del denominatore. $$ \log_x \frac{a}{b} = \log_x a - \log_x b $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} log_a ( \frac{x+h}{x} ) ^{\frac{1}{h}} $$
Spiegazione. Il logaritmo di una potenza ba è uguale al prodotto tra l'esponente (a) e il logaritmo di b. $$ \log_x b^a = a \cdot \log_x b $$
$$ f'(x) = \log_a \lim_{h \rightarrow 0} ( \frac{x+h}{x} ) ^{\frac{1}{h}} $$
$$ f'(x) = \log_a \lim_{h \rightarrow 0} ( 1+\frac{h}{x} ) ^{\frac{1}{h}} $$
Riscrivo il rapporto h/x nella forma equivalente (1/x)/(1/h)
$$ f'(x) = \log_a \lim_{h \rightarrow 0} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} ) ^{\frac{1}{h}} $$
Per h che tende a zero, il rapporto 1/h tende a infinito.
In questo modo ho ricondotto il limite al limite notevole che tende a e1/x.
$$ f'(x) = \log_a [ \ \lim_{h \rightarrow 0} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} ) ^{\frac{1}{h}} \ ] = f'(x) = \log_a [ e^{\frac{1}{x}} ] $$
$$ f'(x) = \log_a e^{\frac{1}{x}} $$
Spiegazione. Il limite precedente $$ \lim_{h \rightarrow 0} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} ) ^{\frac{1}{h}} $$ posso riscriverlo in una forma equivalente con un cambio di variabile y=1/h. Per h→0 la nuova variabile tende a infinito y→∞. $$ \lim_{y \rightarrow \infty} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{y} ) ^y $$ E' il limite notevole che tende al numero di Nepero (e) elevato a 1/x. $$ \lim_{y \rightarrow \infty} ( 1+\frac{\frac{1}{x}}{y} ) ^y = e ^{\frac{1}{x}} $$
Dopo un ulteriore passaggio algebrico ottengo la regola di derivazione
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot log_a e $$
Spiegazione. E' una proprietà dei logaritmi che ho già usato in precedenza. Il logaritmo di una potenza ba è uguale al prodotto tra l'esponente (a) e il logaritmo di b. $$ \log_x b^a = a \cdot \log_x b $$ In questo caso la uso nel verso opposto per far uscire l'esponente dall'argomento del logaritmo.
Ho così dimostrato la formula della derivata del logaritmo su base a.
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot log_a e $$
Il caso del logaritmo naturale
Nel caso del logaritmo naturale la base a=e è il numero di Nepero.
$$ \ln e = \log_e e $$
L'argomento e la base del logaritmo sono uguali, quindi il risultato del logaritmo è 1.
$$ \ln e = \log_e e = \log e = 1 $$
Spiegazione. Quando l'argomento e la base del logaritmo sono uguali, l'esponente x per eguagliare la base bx all'argomento del logaritmo è necessariamente uno. $$ x= \log_b k \Rightarrow b^x =k $$
Quindi la derivata del logaritmo naturale si semplifica ulteriormente in
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot log_a e = \frac{1}{x} \cdot 1 \ = \frac{1}{x} $$
E così via.
