Derivata della cosecante
La derivata prima della funzione cosecante è $$ D[ \csc \ x] = - \frac{ \cos x }{ \sin^2 x} = - csc \ x \cdot \ ctg \ x $$
Dimostrazione
La cosecante è il reciproco del seno
$$ \csc x = \frac{1}{ \sin x } $$
Quindi posso riscrivere la derivata prima della cosecante in questa forma equivalente
$$ D[ \csc \ x] = D [ \frac{1}{ \sin x } ]$$
Applico la regola di derivazione del rapporto
$$D[ \csc \ x] = \frac{D[1] \cdot \sin x - 1 \cdot D[ \sin x ] }{ \sin^2 x } $$
La derivata di una costante è nulla D[1]=0.
La derivata del seno è il coseno D[sin x]=cos x.
$$ D[ \csc \ x] = \frac{0 \cdot \sin x - 1 \cdot \cos x }{ \sin^2 x } $$
$$D[ \csc \ x] = \frac{ - \cos x }{ \sin^2 x } $$
Riscrivo l'equazione in questa forma equivalente
$$ D[ \csc \ x] = - \frac{ \cos x }{ \sin x } \cdot \frac{1}{ \sin x} $$
In trigonometria il rapporto cos/sin è la cotangente.
$$ D[ \csc \ x] = - ctg \ x \cdot \frac{1}{ \sin x} $$
Il reciproco del seno è invece la cosecante ossia csc=1/sin.
$$D[ \csc \ x] = - ctg \ x \cdot \csc x $$
In questo modo ho dimostrato la derivata prima della cosecante.
E così via.
