Derivata della cosecante

La derivata prima della funzione cosecante è $$D[ \csc \ x] = - \frac{ \cos x }{ \sin^2 x} = - csc \ x \cdot \ ctg \ x$$

Dimostrazione

La cosecante è il reciproco del seno

$$\csc x = \frac{1}{ \sin x }$$

Quindi posso riscrivere la derivata prima della cosecante in questa forma equivalente

$$D[ \csc \ x] = D [ \frac{1}{ \sin x } ]$$

Applico la regola di derivazione del rapporto

$$D[ \csc \ x] = \frac{D[1] \cdot \sin x - 1 \cdot D[ \sin x ] }{ \sin^2 x }$$

La derivata di una costante è nulla D[1]=0.

La derivata del seno è il coseno D[sin x]=cos x.

$$D[ \csc \ x] = \frac{0 \cdot \sin x - 1 \cdot \cos x }{ \sin^2 x }$$

$$D[ \csc \ x] = \frac{ - \cos x }{ \sin^2 x }$$

Riscrivo l'equazione in questa forma equivalente

$$D[ \csc \ x] = - \frac{ \cos x }{ \sin x } \cdot \frac{1}{ \sin x}$$

In trigonometria il rapporto cos/sin è la cotangente.

$$D[ \csc \ x] = - ctg \ x \cdot \frac{1}{ \sin x}$$

Il reciproco del seno è invece la cosecante ossia csc=1/sin.

$$D[ \csc \ x] = - ctg \ x \cdot \csc x$$

In questo modo ho dimostrato la derivata prima della cosecante.

E così via.