Teorema di Rolle

Sia \( f(x) \) una funzione continua nell'intervallo chiuso \([a,b] \) e derivabile nell'intervallo aperto \( (a,b) \). Se \( f(a)=f(b) \), allora esiste almeno un punto \(x_0 \in (a,b)\) tale che \[ f'(x_0)=0 \]

Il teorema afferma che esiste almeno un punto \( x_0 \in (a,b) \) in cui la derivata \( f'(x_0) = 0 \) si annulla.

Ciò non toglie che possano esistere più punti con derivata nulla nello stesso intervallo.

Un esempio pratico 

Considero la funzione seguente nell'intervallo \( [-1,1] \)

\[ f(x)=x^2-1 \]

Agli estremi dell'intervallo la funzione ha lo stesso valore:

\[ f(-1)=0 \]

\[ f(1)=0 \]

Poiché la funzione è continua e derivabile e ha lo stesso valore agli estremi, si applica il teorema di Rolle.

Calcolo la derivata:

\[ f'(x)=2x \]

Poi cerco i punti in cui la derivata \( f'(x)=0 \) si annulla:

\[ 2x=0 \]

In questo caso l'equazione si annulla quando \( x=0 \).

Poiché \( 0 \in (-1,1) \), come previsto dal Teorema di Rolle esiste un punto interno all'intervallo in cui \( f'(0)=0 \).

 

Dimostrazione

Data una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b), per il teorema di Weierstrass esistono almeno un punto di minimo (x₁) e un punto di massimo (x₂)

$$ f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) $$

Per dimostrare l'esistenza di una derivata nulla esamino i due casi possibili

1) Minimo/massimo intermedio nell'intervallo

Se almeno uno dei due punti di massimo (x₂) e/o minimo (x₁) è un punto intermedio nell'intervallo (a,b), secondo il teorema di Fermat tale punto ha derivata nulla.

Pertanto, almeno un punto x della funzione f(x) nell'intervallo (a,b) ha derivata nulla.

2] Minimo/massimo estremi nell'intervallo

Se invece i due punti di minimo (x₁) e di massimo (x₂) sono punti estremi dell'intervallo, ossia non sono interni

$$ f(x_1)=f(a) \\ f(x_2)=f(b) $$

Poiché per ipotesi iniziale la funzione f(x) ha lo stesso valore agli estremi

$$ f(a)=f(b) $$

allora il minimo e il massimo hanno lo stesso valore f(x)

$$ f(x_1)=f(x_2) $$

Essendo il minimo e il massimo uguali, questo vuol dire che la funzione f(x) è uguale agli estremi e costante in ogni punto dell'intervallo (a,b)

$$ f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) $$

Poiché $ f(x_1) = f(x_2) $ segue che

$$ f(x_1) = f(x) = f(x_2) \ \ \ \forall \ x \in [a,b] $$

Se la funzione f(x) è costante in ogni punto x dell'intervallo (a,b), allora in ogni punto x la derivata prima f'(x) è nulla.

In questo caso esistono infiniti punti con derivata nulla f'(x)=0 nell'intervallo (a,b).

Ho così dimostrato la presenza di almeno una derivata nulla f'(x) nell'intervallo (a,b) se f(a)=f(b).

Dimostrazione alternativa

Secondo il teorema di Weierstrass in una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b) esiste un punto di minimo m=f(x₁) e di massimo M=f(x₂)

$$ f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) $$

Ora considero due casi possibili

1] Minimo e massimo coincidono m=M

In questo caso la funzione è costante in ogni punto dell'intervallo [a,b]

$$ m = f(x) = M \ \ \ \forall \ x \in [a,b] $$

Quindi, la derivata è nulla in ogni punto dell'intervallo aperto (a,b).

$$ f'(x) = 0 \ \ \ \forall \ x \in (a,b) $$

2] Minimo e massimo non coincidono m<M

In questo caso la funzione non è costante dell'intervallo [a,b].

Poiché per ipotesi $ f(a)=f(b) $, almeno uno dei due punti $ x_1 $ e/o $ x_2 $ deve essere compreso nell'intervallo (a,b).

Per esempio, suppongo che $ x_1 \in (a,b) $

Essendo $ f(x_1) = m $ il valore minimo, qualsiasi variazione positiva o negativa $ h $ genera un valore uguale o maggiore della funzione.

$$ f(x_1 + h ) \ge f(x_1) $$

Ne consegue che

$$ f(x_1 + h ) - f(x_1) \ge 0 $$

Se divido per $ h>0 $ positivo entrambi i membri della disequazione ottengo il rapporto incrementale:

$$ \frac{ f(x_1 + h ) - f(x_1)}{h} \ge 0 $$

Quindi, il limite per $ h \to 0^+ $ è la derivata destra di $ f(x) $ in $ x_1 $

$$ \lim_{h \to 0^+} \frac{ f(x_1 + h ) - f(x_1)}{h} \ge 0 $$

D'altra parte, se divido per $ h<0 $ negativo entrambi i membri della disequazione ottengo:

$$ \frac{ f(x_1 + h ) - f(x_1)}{h} \le 0 $$

Quindi, il limite per $ h \to 0^- $ è la derivata sinistra di $ f(x) $ in $ x_1 $

Sapendo che la funzione è continua e derivabile in $ (a,b) $ e che $ x_1 \in (a,b) $, ne consegue che la funzione è continua e derivabile anche in $ x_1 $.

Pertanto, il limite destro e sinistro della funzione $ f(x) $ in $ x_1 $ devono coincidere e l'unico caso possibile è la derivata nulla

$$  \lim_{h \to 0} \frac{ f(x_1 + h ) - f(x_1)}{h} = 0 $$

Quindi

$$ f'(x_1) = 0 $$

Come volevasi dimostrare

Nota. Seguendo lo stesso ragionamento posso giungere al medesimo risultato considerando il punto di massimo $ M=f(x_2) $ compreso nell'intervallo $ x_2 \in (a,b) $.

E così via.