Le derivate di ordine superiore
Le derivate di ordine superiore sono le derivate ottenute derivando più volte una funzione \( f(x) \).
Data una funzione \( y=f(x) \) si può calcolare la sua derivata prima che misura la rapidità con cui varia la funzione rispetto alla variabile indipendente \( x \).
\[ y'=f'(x) \]
Poiché anche la derivata è una funzione della variabile \( x \), può essere derivata nuovamente.
La derivata della derivata prima è detta derivata seconda e si indica con \( y'' \) oppure \( f''(x) \)
\[ y''= [ f'(x) ]' \]
Anche la derivata seconda può essere derivata. La derivata della derivata seconda prende il nome di derivata terza e si indica con tre apici \( y''' \) oppure \( f'''(x) \).
\[ y'''= [ f''(x) ]' \]
Ripetendo il procedimento si ottengono le derivate successive. Il procedimento può essere ripetuto indefinitamente, purché la funzione sia derivabile.
Si ottengono così la derivata quarta \( y^{(4)} \), la derivata quinta \( y^{(5)} \), la derivata sesta \( y^{(6)} \) e via dicendo.
\[ y^{(4)}=[f'''(x)]' \\ y^{(5)}=[f^{(4)}(x)]' \\ y^{(6)}=[f^{(5)}(x)]' \\ \vdots \]
Queste sono dette derivate di ordine superiore. In generale, la derivata di ordine \( n \) si indica con \( f^{(n)}(x) \) oppure \( y^{(n)} \).
Nota. Seguendo la notazione più diffusa, per le prime tre derivate si utilizzano normalmente gli apici: \( y' \), \( y'' \), \( y''' \). Dalla quarta derivata in poi si preferisce utilizzare il numero dell'ordine tra parentesi: \( y^{(4)} \), \( y^{(5)} \), \( y^{(6)} \) ... Questa notazione evita di scrivere un numero elevato di apici e rende più leggibile l'espressione.
A cosa servono?
Le derivate di ordine superiore sono molto importanti nello studio delle funzioni.
In particolare, la derivata prima mi permette di studiare la crescita e la decrescita mentre la derivata seconda consente di analizzare la concavità e individuare i punti di flesso.
Le derivate di ordine superiore trovano invece applicazione nelle approssimazioni locali delle funzioni e nello sviluppo in serie.
Ad esempio, le derivate di ordine superiore sono utilizzate nelle serie di Taylor e nelle serie di Maclaurin per approssimare una funzione mediante un polinomio in un intorno di un punto.
In generale, le derivate di ordine superiore estendono il concetto di derivata prima e mi permettono di analizzare aspetti sempre più dettagliati del comportamento di una funzione.
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ f(x)=x^3 \]
La derivata prima è
\[ f'(x)=3x^2 \]
Questa funzione descrive la velocità di variazione di \( x^3 \) in ogni punto del dominio.
Derivando la derivata prima ottengo la derivata seconda.
\[ f''(x)= ( 3x^2 )' = 6x \]
La derivata seconda fornisce informazioni sulla curvatura del grafico della funzione.
Anche quest'ultima è una funzione e può essere derivata. Il risultato è la derivata terza.
\[ f'''(x)= ( 6x )' = 6 \]
La derivata terza è una funzione costante. Derivando ancora si ottiene la derivata quarta.
\[ f^{(4)}(x)= ( 6 )' = 0 \]
La derivata quarta è la funzione nulla. Da questo punto in poi tutte le derivate successive sono nulle:
\[ f^{(5)}(x)= ( 0 )' = 0 \\ f^{(6)}(x)= ( 0 )' = 0 \\ \vdots \]
Poiché la derivata della funzione nulla è ancora nulla, tutte le derivate successive sono uguali a zero.
Esempio 2
Considero la funzione
\[ f(x)=x^4 \]
Calcolo le derivate successive:
\[ f'(x)=4x^3 \]
\[ f''(x)=12x^2 \]
\[ f'''(x)=24x \]
\[ f^{(4)}(x)=24 \]
\[ f^{(5)}(x)=0 \]
Da questo punto in poi tutte le derivate successive sono ancora uguali a zero.
Nota. In generale, per un polinomio di grado \( n \), la derivata di ordine \( n \) è una costante, mentre la derivata di ordine \( n+1 \) è la funzione nulla. Ad esempio, poiché \( f(x)=x^4 \) è un polinomio di quarto grado, la derivata quarta è una costante e la derivata quinta è nulla. Si tratta di una proprietà importante: ogni derivazione di un polinomio riduce di un'unità il grado del polinomio fino a ottenere prima una costante e poi la funzione nulla. Pertanto, ogni polinomio ammette soltanto un numero finito di derivate non nulle.
Esempio 3
Può anche accadere che una funzione sia derivabile infinite volte senza che il processo di derivazione termini. In questo caso si dice che la funzione è infinitamente derivabile.
Un esempio molto importante è la funzione seno:
\[ f(x)= \sin x \]
Calcoliamo le derivate successive. La derivata prima è
\[ f'(x)= \cos x \]
La derivata seconda è
\[ f''(x)= - \sin x \]
La derivata terza è
\[ f'''(x)= - \cos x \]
Derivando ancora una volta, la derivata quarta è di nuovo il seno.
\[ f^{(4)}(x)= \sin x \]
Poiché la derivata quarta è uguale alla funzione iniziale, il processo di derivazione ricomincia e si ripete ciclicamente.
\[ f^{(5)}(x)=\cos x \]
\[ f^{(6)}(x)=-\sin x \]
\[ f^{(7)}(x)=-\cos x \]
\[ f^{(8)}(x)=\sin x \]
In conclusione, le derivate del seno seguono un andamento ciclico di periodo 4. Dopo quattro derivazioni si ritorna alla funzione di partenza.
In generale, per la funzione seno vale la seguente relazione per ogni intero \(n \geq 0 \).
\[ f^{(n+4)}(x)=f^{(n)}(x) \]
Nota. Lo stesso fenomeno si verifica per la funzione coseno. Le derivate successive non si annullano mai ma si ripetono periodicamente. Per questa ragione le funzioni trigonometriche seno e coseno sono tra gli esempi più importanti di funzioni derivabili infinite volte.
In conclusione, mentre per i polinomi il processo di derivazione conduce inevitabilmente alla funzione nulla, per altre funzioni, come il seno e il coseno, le derivate si ripetono ciclicamente senza mai annullarsi.
E così via.
