Punti stazionari
Un punto stazionario è un punto \( x=c \) del grafico di una funzione \( y=f(x) \) in cui la derivata prima è uguale a zero \( f'(c)=0 \).
Nel punto stazionario, quindi, il grafico “si appiattisce” localmente.
Questo accade perché la derivata misura la pendenza della tangente al grafico.
- Se la derivata è positiva \( f'(x)>0 \), la funzione cresce.
- Se la derivata è negativa \( f'(x)<0 \), la funzione decresce.
- Se la derivata è nulla \( f'(x)=0 \), la tangente è orizzontale.
Quindi, in un punto stazionario la retta tangente al grafico è orizzontale, cioè ha coefficiente angolare nullo.
A cosa serve? I punti stazionari sono fondamentali nello studio delle funzioni perché permettono di individuare i massimi, i minimi o i flessi a tangente orizzontale. In pratica, sono uno strumento utile per comprendere la forma del grafico di una funzione.
Come trovare i punti stazionari?
Per trovare i punti stazionari di una funzione si seguono questi passaggi:
- Si calcola la derivata prima.
- Si pone la derivata uguale a zero.
- Si risolve l'equazione.
- Si studia il comportamento della funzione nei punti trovati.
Un esempio completo
Esempio 1
Considero la funzione
\[ f(x)= x^2-1 \]
La derivata è
\[ f'(x)=2x \]
Ponendo la derivata uguale a zero:
\[ 2x=0 \]
si ottiene
\[ x=0 \]
In questo caso la derivata è negativa \( f'(x)<0 \) prima del punto \( x=0 \) e poi è positiva \( f'(x)>0 \).
Questo vuol dire che la funzione \( f(x) \) decresce prima di \( x=0 \) e poi cresce. Quindi, in questo punto ha un minimo relativo.
Esempio 2
Considero la funzione
\[ f(x)=x^3-3x \]
Calcolo la derivata:
\[ f'(x)=3x^2-3 \]
Pongo la derivata uguale a zero:
\[ 3x^2-3=0 \]
Poi semplifico, in questo caso divido entrambi i membri dell'equazione per 3.
\[ x^2-1=0 \]
\[ x=\pm1 \]
Quindi, i punti stazionari della funzione sono \( x=-1 \) e \( x=1 \):
Ora studio il segno della derivata:
- Per \( x<-1 \) la derivata è positiva \( f'(x)>0 \) quindi la funzione \( f(x) \) cresce.
- Tra \(-1 \) e \( 1 \) la derivata è negativa \( f'(x)<0 \) quindi la funzione \( f(x) \) decresce.
- Per \( x>1 \) la derivata torna positiva \( f'(x)>0 \) quindi la funzione \( f(x) \) cresce.
Nell'intorno di \( x=-1 \) la funzione \( f(x) \) cresce prima del punto, poi decresce. Quindi in \( x=-1 \) c'è un massimo relativo.
Nell'intorno di \( x=1 \), invece, la funzione \( f(x) \) decresce, poi cresce. Quindi in \( x=1 \) c'è un minimo relativo.
Nota. Un punto stazionario non è sempre un massimo o un minimo. Può capitare che nell'intorno di un punto la funzione sia sempre crescente o decrescente. In questi casi la funzione ha un flesso a tangente orizzontale.
Esempio 3
Considero la funzione
\[ f(x)=x^3 \]
La derivata è
\[ f'(x)=3x^2 \]
La derivata si annulla \( f'(x)=0 \) quando:
\[ 3x^2 = 0 \]
Semplificando, capisco che si annulla nel punto \( x=0 \)
\[ x = 0 \]
Tuttavia, in questo caso la derivata è positiva \( f'(x)>0 \) sia prima che dopo \( x=0 \), quindi la funzione \( f(x) \) è sempre crescente nell'intorno del punto stazionario.
Questo tipo di punto è detto flesso a tangente orizzontale.
In generale, un flesso a tangente orizzontale si verifica quando la derivata si annulla ma non cambia segno nell’intorno del punto. In questo caso la funzione continua a essere crescente o decrescente anche dopo il punto stazionario.
E così via.
