La derivata di una potenza
Definizione
La regola per derivare una potenza è la seguente: $$ D[ax^b]=b \cdot a x^{b-1} $$
Per spiegare questa semplice regola di derivazione, svolgo la dimostrazione e un esempio pratico.
Un esempio pratico
In quest'altro esempio calcolo la derivata prima di 2x3.
$$ f(x) = 2x^3 $$
Secondo la regola di derivazione
$$ f'(x) = 3 \cdot 2x^{3-1}= 6x^2 $$
Verifica
Calcolo il limite del rapporto incrementale della funzione per h tendente a zero
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
dove
$$ f(x)=2x^3 $$
$$ f(x+h)=2(x+h)^3 $$
Sostituisco le funzioni nel rapporto incrementale
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2(x+h)^3-2x^3}{h} $$
Poi svolgo i calcoli algebrici
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2(x^3+
3x^2h + 3xh^2 + h^3) -2x^3}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2x^3+
6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 -2x^3}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{
6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 }{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{
h(6x^2 + 6xh + 2h^2 ) }{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}
6x^2 + 6xh + 2h^2 $$
Il limite fa tendere la variabile h a zero e annulla 6xh e 2x2.
Pertanto, il limite del rapporto incrementale è
$$ f'(x) = 6x^2 $$
La derivata prima di 2x3 è 6x2.
La rappresentazione grafica
La dimostrazione
Dimostrazione per induzione
La derivata di xn per n=1 è uguale a 1.
$$ D[x^1] = 1 \cdot x^0 = 1 $$
Suppongo che la regola di derivazione si valida per n=k qualsiasi.
$$ D[x^k] = k \cdot x^{k-1} $$
Poi verifico se la regola è valida anche per n=k+1 ossia per l'intero successivo.
$$ D[x^{k+1}] $$
Posso riscrivere la precedente funzione come prodotto di due variabili.
$$ D[x \cdot x^k] $$
A questo punto applico la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.
$$ D[x \cdot x^k] = 1 \cdot x^k + x \cdot k \cdot x^{k-1} $$
$$ D[x \cdot x^k] = 1 \cdot x^k + k \cdot x^k $$
$$ D[x \cdot x^k] = (1+k) \cdot x^k $$
Questo dimostra la regola di dervizione.
Dimostrazione alternativa
Considero la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale per $ h \to 0 $
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \]
Sviluppo la potenza del binomio:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\left[x^n+n x^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\dots+h^n\right]-x^n}{h} \]
Semplifico \(x^n\)
\[ \require{cancel} \lim_{h \to 0} \frac{ \cancel{ x^n }+n x^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\dots+h^n - \cancel{ x^n} }{h} \]
Raccolgo \( h \) e semplifico
\[ \lim_{h \to 0} \frac{ \cancel{h} \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\dots+h^{n-1}\right]}{ \cancel{h} } \]
\[ \lim_{h \to 0} nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\dots+h^{n-1} \]
A questo punto calcolo il limite per \(h \to 0\) e ottengo:
\[ D \ x^n = n x^{n-1} \]
Come volevasi dimostrare
Esempio
Data la seguente funzione
$$ f(x) = x^2 $$
Secondo la regolare di derivazione, la derivata prima della funzione f(x) dovrebbe essere
$$ f'(x) = (2) \cdot x^{2-1} = 2x $$
Per verificarlo calcolo il limite del rapporto incrementale della funzione per h tendente a zero.
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
So già che
$$ f(x) = x^2 $$
$$ f(x+h) = (x+h)^2 $$
Quindi sostituisco le funzioni nel rapporto incrementale.
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} $$
Poi semplifico il rapporto svolgendo i calcoli algebrici
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2xh+h^2}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(2x+h)}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} 2x+h $$
Il limite fa tendere h a zero. Pertanto, il risultato del limite è
$$ f'(x) = 2x $$
Ho così dimostrato che la derivata di x2 è 2x.
La rappresentazione grafica
A questo punto verifico se la regola di derivazione vale anche per k+1
$$ D[x^{2+1}] $$
Trasformo la funzione x2+1 in un prodotto x·x2
$$ D[x \cdot x^2] $$
Poi applico la regola di derivazione del prodotto di due funzioni
$$ D[x] \cdot x^2 + x \cdot D[x^2] $$
$$ 1 \cdot x^2 + x \cdot 2x $$
$$ x^2 + 2x^2 $$
$$ 3x^2 $$
La derivata prima di x3 è 3x2.
Ho così dimostrato che la regola vale anche k+1
Quindi, per induzione la regola è valida per qualsiasi intero positivo.
La derivata della potenza reale
La derivata della funzione \( f(x)=x^\alpha \) con \(\alpha \in \mathbb{R}\) e \(x>0\), è \[ f'(x)=\alpha x^{\alpha-1} \] oppure, in forma sintetica \[ D \ x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1} \]
Questa regola generale mi permette di derivare potenze con esponente intero, frazionario, negativo o irrazionale.
La formula vale per ogni esponente reale \(\alpha\), purché si lavori nel dominio \(x>0\).
\[ D \ x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1} \]
Perché imporre la condizione di esistenza x>0?
Per alcuni esponenti reali la funzione può essere definita anche in altri punti.
Ad esempio \( x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x} \) è definita anche per \(x<0 \), perché la radice cubica di un numero negativo esiste nei numeri reali.
Tuttavia, la dimostrazione generale con potenze reali richiede \(x>0\), perché l’espressione \(x^\alpha\) non è sempre definita nei reali quando \(x \le 0\).
Nota. In particolare, quando l'esponente \( \alpha \) è irrazionale, la potenza reale si definisce tramite il logaritmo \[ x^\alpha=e^{ \ln x^ \alpha} = e^{\alpha \ln x} \] Poiché il logaritmo reale \( \ln x \) esiste soltanto per \( x>0 \) anche la funzione \( x^\alpha \) e la sua derivata richiedono la stessa condizione di esistenza.
Esempio
Calcolo la derivata della funzione
\[ y=\sqrt[4]{x^3} \]
Scrivo la radice come potenza
\[ y=x^{\frac{3}{4}} \]
Applico la regola
\[ y'=\frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} \]
\[ y'=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} \]
Quindi
\[ y'=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}} \]
Poiché l'indice della radice al denominatore è pari, va aggiunta come condizione di esistenza \( x>0 \). Inoltre, essendo al denominatore, la variabile \( x \) non può essere nulla.
Esempio 2
Calcolo la derivata della funzione
\[ y=\frac{1}{x^4} \]
Scrivo la funzione come potenza con esponente negativo
\[ y=x^{-4} \]
Applico la regola
\[ y'=-4x^{-5} \]
Quindi
\[ y'=-\frac{4}{x^5} \]
Poiché la variabile \( x \) si trova al denominatore, va aggiunta la condizione di esistenza \( x\neq 0 \).
Esempio 3
Calcolo la derivata della funzione
\[ y=\sqrt[3]{x^5} \]
Scrivo la radice come potenza
\[ y=x^{\frac{5}{3}} \]
Applico la regola
\[ y'=\frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} \]
\[ y'=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \]
Quindi
\[ y'=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2} \]
In questo caso la funzione è definita per ogni numero reale perché l'indice della radice è dispari.
\[ x\in \mathbb{R} \]
Esempio 4 (il caso della radice quadrata)
Se l'esponente è \[ \alpha=\frac{1}{2} \] la potenza equivale a una radice quadrata
\[ x^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{x} \]
Applicando la regola di derivazione della potenza ottengo:
\[ D \ x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \]
Poiché \( x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \) si ottiene la nota formula della derivata della radice quadrata.
\[ D\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \]
Poiché l'indice della radice al denominatore è pari, va aggiunta la condizione di esistenza \( x>0 \). Inoltre, essendo la radice al denominatore, il valore \( x=0 \) va escluso per evitare una divisione per zero.
Nota. La funzione \(\sqrt{x}\) è definita anche in \(x=0\). Tuttavia, in quel punto non è derivabile, perché la derivata \(
\frac{1}{2\sqrt{x}} \) non è definita per \(x=0\).
Esempio 5
Calcolo la derivata di
\[ y=x^\pi \]
Poiché \(\pi\) è una costante reale, applico la stessa regola
\[ y'=\pi x^{\pi-1} \]
Poiché l'esponente è irrazionale, va imposta la condizione di esistenza \( x>0 \).
Esempio 6
Calcolo ora la derivata di
\[ y=x^{\sqrt{2}} \]
Anche \(\sqrt{2}\) è una costante reale. Quindi
\[ y'=\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1} \]
Anche in questo caso l'esponente è irrazionale, quindi va imposta la condizione di esistenza \( x>0 \).
Dimostrazione
Per definizione, la derivata di \(f(x)\) è
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Poiché \(f(x)=x^\alpha\), si ottiene
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^\alpha-x^\alpha}{h} \]
Raccolgo \(x^\alpha\) al numeratore
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{ \left[ x \left (1+\frac{h}{x}\right) \right] ^\alpha-x^\alpha}{h} \]
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{ x^\alpha \left (1+\frac{h}{x}\right) ^\alpha-x^\alpha}{h} \]
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{x^\alpha \left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1\right]}{h} \]
Porto fuori \(x^\alpha\), perché non dipende da \(h\)
\[ f'(x)= x^\alpha \lim_{h \to 0} \frac{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1}{h} \]
Ora riscrivo il denominatore in funzione di \(\frac{h}{x}\). Poiché
\[ h=x \cdot \frac{h}{x} \]
si ha
\[ \frac{1}{h}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\frac{h}{x}} \]
Quindi
\[ f'(x)= x^\alpha \cdot \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \frac{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1}{\frac{h}{x}} \]
Poiché
\[ x^\alpha \cdot \frac{1}{x}=x^{\alpha-1} \]
ottengo
\[ f'(x)= x^{\alpha-1} \lim_{h \to 0} \frac{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1}{\frac{h}{x}} \]
Quando \(h \to 0\), anche \(\frac{h}{x}\to 0\), perché \(x\) è costante e \(x>0\).
Uso il limite notevole con \( u=\frac{h}{x} \) e \( k=\alpha \).
\[ \lim_{u \to 0} \frac{(1+u)^k-1}{u}=k \]
Pertanto
\[ f'(x)=x^{\alpha-1}\alpha \]
Quindi, il risultato finale è
\[ D \ x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1} \]
Come volevasi dimostrare.
E così via.
