La derivata della cotangente
La derivata della funzione cotangente è D[cotx]=−1[sinx]2=−(1+cot2x)
Dimostrazione
Per spiegare la derivata della cotangente utilizzo una regola di equivalenza della trigonometria, secondo la quale la cotangente è uguale al rapporto tra coseno e seno.
cotx=cosxsinx
Nota. La spiegazione è molto simile alla derivata di una tangente.
Pertanto, la derivata della tangente è uguale alla derivata del rapporto tra coseno e seno.
D[cotx]=D[cosxsinx]
Ora diventa tutto molto più semplice perché conosco già le derivate del seno e del coseno.
D[sinx]=cosx
D[cosx]=−sinx
Applico la regola di derivazione del rapporto di due funzioni
D[cotx]=D[cosxsinx]
D[cosx]⋅sinx−cosx⋅D[sinx][sinx]2
−sinx⋅sinx−cosx⋅cosx[sinx]2
−sin2x−cos2x[sinx]2
−(sin2x+cos2x)[sinx]2
Secondo una regola della trigonometria, la somma dei quadrati del seno e del coseno è uguale a uno. sin2x+cos2x=1
Quindi posso scrivere il risultato anche in questa forma:
−(sin2x+cos2x)[sinx]2
−1[sinx]2
Secondo una regola di equivalenza trigonometrica tra seno e cotangente sinx=1√(1+cot2x)
A questo punto sostituisco i termini e ottengo
−1sin2x=−1(1√(1+cot2x))2=−11(1+cot2x)=−1⋅(1+cot2x)=−(1+cot2x)
Ho così dimostrato la formula della derivata della cotangente.