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La derivata della cotangente

La derivata della funzione cotangente è D[cotx]=1[sinx]2=(1+cot2x)

Dimostrazione

Per spiegare la derivata della cotangente utilizzo una regola di equivalenza della trigonometria, secondo la quale la cotangente è uguale al rapporto tra coseno e seno.

cotx=cosxsinx

Nota. La spiegazione è molto simile alla derivata di una tangente.

Pertanto, la derivata della tangente è uguale alla derivata del rapporto tra coseno e seno.

D[cotx]=D[cosxsinx]

Ora diventa tutto molto più semplice perché conosco già le derivate del seno e del coseno.

D[sinx]=cosx

D[cosx]=sinx

Applico la regola di derivazione del rapporto di due funzioni

D[cotx]=D[cosxsinx]

D[cosx]sinxcosxD[sinx][sinx]2

sinxsinxcosxcosx[sinx]2

sin2xcos2x[sinx]2

(sin2x+cos2x)[sinx]2

Secondo una regola della trigonometria, la somma dei quadrati del seno e del coseno è uguale a uno. sin2x+cos2x=1

Quindi posso scrivere il risultato anche in questa forma:

(sin2x+cos2x)[sinx]2

1[sinx]2

Secondo una regola di equivalenza trigonometrica tra seno e cotangente sinx=1(1+cot2x)

A questo punto sostituisco i termini e ottengo

1sin2x=1(1(1+cot2x))2=11(1+cot2x)=1(1+cot2x)=(1+cot2x)

Ho così dimostrato la formula della derivata della cotangente.

il grafico della cotangente e della derivata della cotangente

 


 

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