La derivata della funzione composta
La derivata di una funzione composta f[g(x)] è $$ Df[g(x)] = f'[g(x)] \cdot g'(x) $$
Si chiama anche regola della catena ("chain rule" in inglese).
Si può applicare anche se ci sono tre o più funzioni (come in \( f(g(h(x))) \)), il principio è sempre lo stesso della regola della catena classica, si applica "a catena" una derivata dopo l'altra, dall'esterno verso l'interno.
E' detta regola della catena iterata o regola della catena multiplia.
\[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
Nota. La stessa regola si applica se ci sono quattro o più funzioni nella funzione composta. Basta derivare la funzione più esterna per l'argomento e moltiplicare man mano per le derivate delle funzioni più interne, dall'esterno verso l'interno, per il loro argomento.
Un esempio pratico
Esempio 1
Questa funzione è composta da due funzioni
$$ \sin x^2 $$
Dove f(g(x)) è la funzione seno e g(x) è x2.
$$ f(g(x)) = \sin g(x) $$ $$ g(x) = x^2 $$
Applico la regola di derivazione delle funzioni composte e ottengo
$$ D[\sin x^2] \cdot D[x^2] $$
$$ \cos x^2 \cdot 2x $$
Nota. Quando nella prima componente derivo D[sin(x2)] lascio immutato il dominio (x2) e derivo soltanto la funzione seno che diventa coseno.
Esempio 2
Anche questa è una funzione composta ma la potenza è sulla funzione seno.
$$ \sin^2 x $$
Quindi la f(x) è (g(x))2 mentre la g(x) è sin(x).
$$ f(g(x)) = [ g(x) ]^2 $$ $$ g(x) = \sin x $$
Applico la regola di derivazione della funzione composta.
$$ D[(\sin x)^2] \cdot D[\sin x] $$
$$ 2 \sin x \cdot \cos x $$
La dimostrazione
Per dimostrare questa regola di derivazione prendo come riferimento iniziale la formula della derivata, ossia il limite per h→0 del rapporto incrementale di una generica funzione f(x).
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Nel caso di una funzione composta il dominio x della funzione f(x) è il codominio di un'altra funzione g().
$$ x = g(x) $$
Pertanto, posso riscrivere il rapporto incrementale in questa forma
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$
L'incremento della funzione g(x+h) è uguale a
$$ g(x+h) = g(x) + Δg $$
Lo sostituisco nel rapporto incrementale
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{h} $$
Poi moltiplico numeratore e denominatore per g(x+h)-g(x)
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{h} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Nota. Nell'ultimo passaggio ho sostituito g(x+h)-g(x) con Δg perché $$ g(x+h) = g(x) + Δg $$ e quindi $$ Δg = g(x+h) - g(x) $$
Per la regola del prodotto di due limiti
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
E' evidente che con h tendente a zero (h→0) anche Δg tende a zero perché Δg=g(x+h)-g(x).
Quindi posso scrivere il primo limite con Δg→0
$$ \lim_{Δg \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Sono giunto al punto che mi permette di dimostrare la regola di derivazione.
Il primo fattore del prodotto dei due limiti è la derivata della f(g(x)) mentre il secondo fattore è la derivata della g(x).
$$ f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione delle funzioni composte.
La regola della catena iterata
La derivata di una funzione composta con tre funzioni \( f(g(h(x))) \) si calcola iterando la regola della derivazione delle funzioni composte dall'esterno verso l'interno \[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
In altre parole, derivo la funzione più esterna \( f \) rispetto al suo argomento \( g(h(x)) \).
Poi moltiplico per la derivata della funzione intermedia \( g \) rispetto a \( h(x) \).
Infine, moltiplico per la derivata della funzione più interna \( h \) rispetto a \( x \).
Esempio
Considero la funzione composta
\[ f(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \]
In questo caso la funzione è composta da tre funzioni:
- \( h(x) = \sin(x) \) la più interna
- \( g(x) = x^2 \)
- \( f(x) = e^x \) la più esterna
Per prima cosa calcolo la derivata della funzione più esterna \( f(u) = e^u \) rispetto al suo argomento \( u= (\sin(x))^2\):
\[ f'(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \]
Poi derivo la funzione intermedia \( g(v) = v^2 \)** rispetto a \( v=\sin(x) \):
\[ g'(h(x)) = 2\sin(x) \]
Infine, derivo la funzione più interna \( h(x) = \sin(x) \) rispetto a \( x \):
\[ h'(x) = \cos(x) \]
Moltiplico le tre derivate tra loro
\[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \times 2\sin(x) \times \cos(x) \]
Quindi, il risultato finale è
\[\frac{d}{dx}e^{(\sin x)^2}= e^{(\sin x)^2}\;\times\;2\sin x\;\times\;\cos x= 2\,e^{(\sin x)^2}\,\sin x\,\cos x\]
Volendo, posso anche sfruttare l’identità trigonometrica \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) e riscrivere il risultato come
\[ \frac{d}{dx}e^{(\sin x)^2} = e^{(\sin x)^2}\,\sin(2x) \]
E così via.
