La derivata della funzione composta

La derivata di una funzione composta f[g(x)] è $$ Df[g(x)] = f'[g(x)] \cdot g'(x) $$

Un esempio pratico

Esempio 1

Questa funzione è composta da due funzioni

$$ \sin x^2 $$

Dove f(g(x)) è la funzione seno e g(x) è x².

$$ f(g(x)) = \sin g(x) $$ $$ g(x) = x^2 $$

Applico la regola di derivazione delle funzioni composte e ottengo

$$ D[\sin x^2] \cdot D[x^2] $$

$$ \cos x^2 \cdot 2x $$

Nota. Quando nella prima componente derivo D[sin(x²)] lascio immutato il dominio (x²) e derivo soltanto la funzione seno che diventa coseno.

Esempio 2

Anche questa è una funzione composta ma la potenza è sulla funzione seno.

$$ \sin^2 x $$

Quindi la f(x) è (g(x))² mentre la g(x) è sin(x).

$$ f(g(x)) = [ g(x) ]^2 $$ $$ g(x) = \sin x $$

Applico la regola di derivazione della funzione composta.

$$ D[(\sin x)^2] \cdot D[\sin x] $$

$$ 2 \sin x \cdot \cos x $$

La dimostrazione

Per dimostrare questa regola di derivazione prendo come riferimento iniziale la formula della derivata, ossia il limite per h→0 del rapporto incrementale di una generica funzione f(x).

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Nel caso di una funzione composta il dominio x della funzione f(x) è il codominio di un'altra funzione g().

$$ x = g(x) $$

Pertanto, posso riscrivere il rapporto incrementale in questa forma

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$

L'incremento della funzione g(x+h) è uguale a

$$ g(x+h) = g(x) + Δg $$

Lo sostituisco nel rapporto incrementale

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{h} $$

Poi moltiplico numeratore e denominatore per g(x+h)-g(x)

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{h} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$

Nota. Nell'ultimo passaggio ho sostituito g(x+h)-g(x) con Δg perché $$ g(x+h) = g(x) + Δg $$ e quindi $$ Δg = g(x+h) - g(x) $$

Per la regola del prodotto di due limiti

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$

E' evidente che con h tendente a zero (h→0) anche Δg tende a zero perché Δg=g(x+h)-g(x).

Quindi posso scrivere il primo limite con Δg→0

$$ \lim_{Δg \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$

Sono giunto al punto che mi permette di dimostrare la regola di derivazione.

Il primo fattore del prodotto dei due limiti è la derivata della f(g(x)) mentre il secondo fattore è la derivata della g(x).

$$ f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

Ho così dimostrato la regola di derivazione delle funzioni composte.

E così via.