La derivata della funzione composta
La derivata di una funzione composta f[g(x)] è $$ Df[g(x)] = f'[g(x)] \cdot g'(x) $$
Si chiama anche regola della catena ("chain rule" in inglese).
Si può applicare anche se ci sono tre o più funzioni (come in \( f(g(h(x))) \)), il principio è sempre lo stesso della regola della catena classica, si applica "a catena" una derivata dopo l'altra, dall'esterno verso l'interno.
E' detta regola della catena iterata o regola della catena multiplia.
\[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
Nota. La stessa regola si applica se ci sono quattro o più funzioni nella funzione composta. Basta derivare la funzione più esterna per l'argomento e moltiplicare man mano per le derivate delle funzioni più interne, dall'esterno verso l'interno, per il loro argomento.
Un esempio pratico
Esempio 1
Considero la funzione
$$ \sin x^2 $$
Si tratta di una funzione composta perché è formata da due funzioni:/p>
$$ f(z)=\sin z $$
$$ z=g(x)=x^2 $$
Applico la regola di derivazione delle funzioni composte:
$$ D[\sin z]\cdot D[x^2] $$
La derivata della funzione seno è il coseno mentre la derivata di $ x^2 $ è $ 2x $:
$$ \cos z \cdot 2x $$
Sostituisco nuovamente \( z=x^2 \):
$$ \cos x^2 \cdot2x $$
Pertanto, la derivata della funzione composta è
$$ 2x \cos x^2 $$
Nota. Per riconoscere una funzione composta, può essere utile sostituire l'argomento con una variabile temporanea $ z $ e controllare può essere interpretata come una successione di operazioni applicate una dopo l'altra. In questo modo è possibile distinguere una funzione esterna e una funzione interna. Ad esempio, quando derivo la funzione esterna \( \sin z \), considero \( z \) come una variabile e ottengo \( \cos z \). Successivamente sostituisco \( z=x^2 \) e moltiplico per la derivata della funzione interna, che è \( 2x \).
Esempio 2
Anche questa è una funzione composta, ma in questo caso la funzione esterna è la potenza, mentre la funzione interna è il seno.
$$ \sin^2 x $$
Posso riscriverla come
$$ (\sin x)^2 $$
Introduco la variabile temporanea $ z = \sin x $
$$ f(z)=z^2 $$ $$ z=g(x)=\sin x $$
Applico la regola di derivazione delle funzioni composte:
$$ D[z^2]\cdot D[\sin x] $$
La derivata di \( z^2 \) è \( 2z \), mentre la derivata di \( \sin x \) è \( \cos x \):
$$ 2z\cdot\cos x $$
Sostituisco nuovamente \( z=\sin x \):
$$ 2\sin x\cdot\cos x $$
Pertanto, la derivata della funzione composta è
$$ 2\sin x\cos x $$
Nota. In questo caso la funzione interna è \( \sin x \), mentre la funzione esterna è l'elevamento al quadrato. Quando derivo la funzione esterna \( z^2 \), considero \( z \) come una normale variabile e ottengo \( 2z \). Successivamente sostituisco \( z \) con \( \sin x \) e moltiplico il risultato per la derivata della funzione interna, che è \( \cos x \).
Esempio 3
Considero la funzione
$$ ( x^2 +1 )^2 $$
Si tratta di una funzione composta perché posso assegnare all'espressione una variabile $ z = x^2+1 $ e riscrivere la funzione come $ z^2 $.
Anche in questo caso applico la regola della catena.
$$ D[ z^2 ] \cdot D[ ( x^2 +1 ) ] $$
$$ 2z \cdot 2x $$
Sapendo che $ z=x^2+1 $
$$ 2( x^2 +1 ) \cdot 2x $$
$$ 4x( x^2 +1 ) $$
$$ 4x^3 + 4x $$
Il risultato è la derivata prima della funzione composta.
La dimostrazione
Per dimostrare questa regola di derivazione prendo come riferimento iniziale la formula della derivata, ossia il limite per h→0 del rapporto incrementale di una generica funzione f(x).
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Nel caso di una funzione composta il dominio x della funzione f(x) è il codominio di un'altra funzione g().
$$ x = g(x) $$
Pertanto, posso riscrivere il rapporto incrementale in questa forma
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$
L'incremento della funzione g(x+h) è uguale a
$$ g(x+h) = g(x) + Δg $$
Lo sostituisco nel rapporto incrementale
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{h} $$
Poi moltiplico numeratore e denominatore per g(x+h)-g(x)
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{h} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Nota. Nell'ultimo passaggio ho sostituito g(x+h)-g(x) con Δg perché $$ g(x+h) = g(x) + Δg $$ e quindi $$ Δg = g(x+h) - g(x) $$
Per la regola del prodotto di due limiti
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
E' evidente che con h tendente a zero (h→0) anche Δg tende a zero perché Δg=g(x+h)-g(x).
Quindi posso scrivere il primo limite con Δg→0
$$ \lim_{Δg \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Sono giunto al punto che mi permette di dimostrare la regola di derivazione.
Il primo fattore del prodotto dei due limiti è la derivata della f(g(x)) mentre il secondo fattore è la derivata della g(x).
$$ f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione delle funzioni composte.
Dimostrazione alternativa
Devo dimostrare la regola della derivata di una funzione composta:
$$ D[f(g(x))]=f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Parto dalla definizione di derivata:
$$ D[f(g(x))]=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$
Qui \( h \) rappresenta un piccolo incremento della variabile \( x \). Se \( x \) aumenta di \( h \), anche il valore della funzione \( g(x) \) cambia.
Introduco allora una nuova variabile:
$$ z=g(x) $$
Indico con \( \Delta z \) la variazione di \( z \):
$$ \Delta z=g(x+h)-g(x) $$
Da questa relazione segue che:
$$ g(x+h)=g(x)+\Delta z=z+\Delta z $$
Sostituendo nella definizione della derivata ottengo:
$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{h} $$
A questo punto il numeratore rappresenta una variazione della funzione \( f \) rispetto alla variabile \( z \), ma il denominatore è ancora espresso in termini di \( h \).
Per ottenere la derivata di \( f \), moltiplico e divido per \( \Delta z \):
$$ \lim_{h\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{ h } \cdot \frac{\Delta z}{ \Delta z } $$
Riscrivo la funzione in questa forma equivalente
$$ \lim_{h\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \cdot \frac{\Delta z}{h} $$
Ora il rapporto incrementale è stato scomposto in due fattori.
Il primo fattore è:
$$ \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} $$
Poiché la funzione \( g \) è derivabile, è anche continua. Pertanto, quando \( h \to 0 \), si ha:
$$ \Delta z=g(x+h)-g(x)\to 0 $$
Quindi il primo fattore tende alla derivata di \( f \):
$$ \lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} = f'(z) $$
Considero ora il secondo fattore:
$$ \frac{\Delta z}{h} $$
Sostituendo la definizione di \( \Delta z \):
$$ \frac{\Delta z}{h} = \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Quando \( h \to 0 \), questo rapporto tende alla derivata di \( g \):
$$ \lim_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g'(x) $$
Pertanto il limite complessivo diventa:
$$ f'(z)\cdot g'(x) $$
Sapendo che $ z=g(x) $ sostituisco \( z \) con \( g(x) \):
$$ f'(g(x))\cdot g'(x) $$
Quindi, la derivata della funzione composta è:
$$ D[f(g(x))] = f'(g(x))\cdot g'(x) $$
Come volevasi dimostrare
La regola della catena iterata
La derivata di una funzione composta con tre funzioni \( f(g(h(x))) \) si calcola iterando la regola della derivazione delle funzioni composte dall'esterno verso l'interno \[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
In altre parole, derivo la funzione più esterna \( f \) rispetto al suo argomento \( g(h(x)) \).
Poi moltiplico per la derivata della funzione intermedia \( g \) rispetto a \( h(x) \).
Infine, moltiplico per la derivata della funzione più interna \( h \) rispetto a \( x \).
Esempio
Considero la funzione composta
\[ f(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \]
In questo caso la funzione è composta da tre funzioni:
- \( h(x) = \sin(x) \) la più interna
- \( g(x) = x^2 \)
- \( f(x) = e^x \) la più esterna
Per prima cosa calcolo la derivata della funzione più esterna \( f(u) = e^u \) rispetto al suo argomento \( u= (\sin(x))^2\):
\[ f'(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \]
Poi derivo la funzione intermedia \( g(v) = v^2 \)** rispetto a \( v=\sin(x) \):
\[ g'(h(x)) = 2\sin(x) \]
Infine, derivo la funzione più interna \( h(x) = \sin(x) \) rispetto a \( x \):
\[ h'(x) = \cos(x) \]
Moltiplico le tre derivate tra loro
\[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \times 2\sin(x) \times \cos(x) \]
Quindi, il risultato finale è
\[\frac{d}{dx}e^{(\sin x)^2}= e^{(\sin x)^2}\;\times\;2\sin x\;\times\;\cos x= 2\,e^{(\sin x)^2}\,\sin x\,\cos x\]
Volendo, posso anche sfruttare l’identità trigonometrica \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) e riscrivere il risultato come
\[ \frac{d}{dx}e^{(\sin x)^2} = e^{(\sin x)^2}\,\sin(2x) \]
E così via.
