Limite notevole del logaritmo naturale

Il limite del logaritmo naturale di \( (1+x) \) fratto \( x \), per \( x \) che tende a zero, è uguale a 1: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]

Questo limite descrive il comportamento della funzione \( \ln(1+x) \) in prossimità di zero e viene utilizzato frequentemente nello studio delle derivate, negli sviluppi in serie e nelle approssimazioni.

La dimostrazione

Considero questo limite

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}  \]

Si tratta di una forma indeterminata perché per $ x \to 0 $ sia il numeratore che il denominatore tendono a zero.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \frac{0}{0} \]

Per risolverlo riscrivo il limite in questa forma equivalente

\[ \lim_{x \to 0}  \frac{1}{x} \cdot \ln(1 + x)  \]

Poi applico le proprietà dei logaritmi

\[ \lim_{x \to 0}  \ln \left( (1 + x)^{  \frac{1}{x} } \right)  \]

Faccio un cambio di variabile $ t = \frac{1}{x} $, pertanto $ x = \frac{1}{t} $. Sapendo che per $ x \to 0 $ la variabile $ t \to \infty $

\[ \lim_{t \to \infty }  \ln \left( (1 + \frac{1}{t})^{  t} \right)  \]

Per il teorema della continuità di una funzione composta posso scrivere il limite anche in questa forma equivalente

\[  \ln \left( \lim_{t \to \infty }  (1 + \frac{1}{t})^{  t} \right)  \]

Il limite \(  \lim_{t \to \infty }  (1 + \frac{1}{t})^{  t}  \) è un limite notevole ed è uguale a $ e $.

\[ \ln \left( \lim_{t \to \infty }  (1 + \frac{1}{t})^{  t} \right) = \ln ( e ) = 1  \]

Quindi, anche il limite iniziale tende a 1

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1  \]

Dimostrazione alternativa

Considero il limite

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \]

Uso un’idea molto elementare basata su un confronto.

Per \( x > -1 \) vale la disuguaglianza

\[ \frac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x \]

Ora divido tutto per \(x \) ma, trattandosi di una diseguaglianza, devo considerare separatamente i casi in cui $ x $ è positivo o negativo.

A] Caso  $ x>0 $

Divido tutti i membri per \( x \) considerando \( x>0 \):

\[ \frac{1}{1+x} \le \frac{\ln(1+x)}{x} \le 1 \]

Ora faccio tendere \( x \to 0^+ \):

\[  \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1+x} \le \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} \le \lim_{x \to 0^+} 1 \]

Sapendo che \( \frac{1}{1+x} \to 1 \) e \( 1 \to 1 \)

\[  1 \le \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} \le 1 \]

Quindi, per il teorema del confronto,

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]

B] Caso  $ x<0 $

Divido tutti i membri per \( x \) considerando \( x<0 \). Poiché $ x $ è negativo, devo cambiare il verso delle diseguaglianze.

\[ \frac{1}{1+x} \ge \frac{\ln(1+x)}{x} \ge 1 \]

Ora faccio tendere \( x \to 0^- \):

\[  \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{1+x} \ge \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1+x)}{x} \ge \lim_{x \to 0^-} 1 \]

Sapendo che \( \frac{1}{1+x} \to 1 \) e \( 1 \to 1 \)

\[  1 \ge \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1+x)}{x} \ge 1 \]

Quindi, per il teorema del confronto, si ottiene lo stesso risultato anche per \( x \to 0^- \)

\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]

C] Conclusione

Poiché il limite destro e il limite sinistro esistono ed entrambi valgono 1, concludo che

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]

Quindi, il limite del logaritmo naturale di \( (1+x) \) fratto \( x \), per \( x \) che tende a zero, è uguale a 1.

Come volevasi dimostrare.

E così via.