Il limite notevole esponenziale e il numero di Nepero
Il numero di Nepero è il limite di una successione in cui si somma uno a una quantità sempre più piccola e si eleva il risultato a una potenza sempre più grande. \[ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \] Dove il numero di Nepero \( e \), una costante matematica irrazionale il cui valore è circa 2.71828.
La particolarità di questo limite è che, pur partendo da una forma indeterminata \( 1^{\infty} \), converge a un valore finito ben definito.
Da questo limite notevole derivano molte altre formule e limiti notevoli, definisce una delle costanti più importanti della matematica ( $ e = 1.71828... $ ) ed è alla base della funzione esponenziale \( e^x \), che ha la proprietà unica di essere uguale alla propria derivata.
Dimostrazione
Considero il limite
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $$
Poiché
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1 $$
Si tratta di una forma indeterminata \( 1^{ \infty } \)
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = 1^{ \infty } $$
Per risolverla, introduco una variabile di comodo \( y \):
$$ y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $$
Poi calcolo il logaritmo naturale in entrambi i membri.
$$ \ln y = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $$
Applico le proprietà dei logaritmi.
$$ \ln y = x \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) $$
Faccio un cambio di variabile ponendo $ t = \frac{1}{x} $ ossia $ x = \frac{1}{t} $
$$ \ln y = \frac{1}{t} \cdot \ln(1+t) $$
$$ \ln y = \frac{\ln(1+t)}{t} $$
Quando \( x \to +\infty \), si ha \( t \to 0^+ \). Quindi, il limite diventa:
$$ \lim_{x \to +\infty} \ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} $$
Il secondo limite è un limite notevole $ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $.
$$ \lim_{x \to +\infty} \ln y = 1 $$
Ora, per eliminare il logaritmo naturale, applico l'esponenziale in entrambi i membri:
$$ \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln y } = e^1 $$
$$ \lim_{x \to +\infty} y = e^1 $$
Poiché la funzione esponenziale è continua, segue
$$ \lim_{x \to +\infty} y = e^1 = e $$
Infine, sostituisco $ y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $$
Come volevasi dimostrare
E così via.
