ProprietÓ dei logaritmi

Le principali proprietà dei logaritmi sono

  • Logaritmo di un prodotto
    Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi $$ log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \ \ \ con \ x>0 \ , \ y>0 $$

    Esempio $$ log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 $$

  • Logaritmo di un quoziente
    Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi $$ log_b( \frac{x}{y} ) = \log_b x - \log_b y \ \ \ con \ x>0 \ , \ y>0 $$

    Esempio $$ log_2( \frac{8}{4}) = \log_2 8 - \log_2 4 $$

  • Logaritmo di una potenza
    Il logaritmo di una potenza di un numero è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero $$ log_b( x^y ) = y \cdot \log_b x \ \ \ con \ x>0 $$

    Esempio $$ log_2( 8^2 ) = 2 \cdot \log_2 8 $$

  • Logaritmo di un radicale
    Il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente tra il logaritmo del radicando e l'indice della radice $$ log_b \ \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_b x \ \ \ con \ x>0 $$

    Esempio $$ log_2 \ \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$

Un esempio pratico

Esempio 1

In questo esempio

$$ log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 $$

il logaritmo del membro di destra è il logaritmo di 32 su base 2

$$ log_2(32) = \log_2 8 + \log_2 4 $$

Il logaritmo di 32 su base 2 è 5 perché 25=32

$$ 5 = \log_2 8 + \log_2 4 $$

Nel membro di destra il logaritmo di 8 su base 2 è 3 perché 23=8

$$ 5 = 3 + \log_2 4 $$

Infine, il logaritmo di 4 su base 2 è 2 perché 22=4

$$ 5 = 3 + 2 $$

$$ 5 = 5 $$

L'identità è soddisfatta

Esempio 2

In questo esempio

$$ log_2( \frac{8}{4} ) = \log_2 8 - \log_2 4 $$

il logaritmo del membro di destra è il logaritmo di 2 su base 2

$$ log_2(2) = \log_2 8 + \log_2 4 $$

Il logaritmo di 2 su base 2 è 1 perché 21=2

$$ 1 = \log_2 8 - \log_2 4 $$

Nel membro di destra il logaritmo di 8 su base 2 è 3 perché 23=8

$$ 1 = 3 - \log_2 4 $$

Infine, il logaritmo di 4 su base 2 è 2 perché 22=4

$$ 1 = 3 - 2 $$

$$ 1 = 1 $$

L'identità è soddisfatta

Esempio 3

In questo esempio

$$ log_2( 8^2 ) = 2 \cdot \log_2 8 $$

il logaritmo del membro di destra è il logaritmo di 64 su base 2

$$ log_2(64) = 2 \cdot \log_2 8 $$

Il logaritmo di 64 su base 2 è 6 perché 26=64

$$ 6 = 2 \cdot \log_2 8 $$

Nel membro di destra il logaritmo di 8 su base 2 è 3 perché 23=8

$$ 6 = 2 \cdot 3 $$

$$ 6 = 6 $$

L'identità è soddisfatta

Esempio 4

In questo esempio

$$ log_2 \ \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$

La radice cubica di 8 è uguale a 2 perchè 23=8

$$ log_2 \ 2 = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$

Il logaritmo di 2 su base 2 è uguale a 1 perché 21=2

$$ 1 = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$

Il logaritmo di 8 su base 2 è uguale a 3 perché 23=8

$$ 1 = \frac{1}{3} \cdot 3 $$

$$ 1 = 1 $$

L'identità è soddisfatta

La dimostrazione

In questo paragrafo dimostro le proprietà dei logaritmi

1] Il logaritmo del prodotto

La proprietà da dimostrare è

$$ \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y $$

Assegno i logaritmi nel membro di destra alle variabili A e B

$$ A=log_b x $$

$$ B=log_b y $$

e da queste ricavo x e y

$$ x = b^A $$

$$ y = b^B $$

Pertanto, il prodotto x·y è uguale al prodotto bA·bB

$$ x \cdot y = b^A \cdot b^B $$

Per la proprietà delle potenze con la stessa base

$$ x \cdot y = b^{A+B} $$

Per la proprietà invariantiva applico il logaritmo a entrambi i membri dell'equazione

$$ \log_b { x \cdot y } = \log_b { b^{A+B} } $$

Per la proprietà del logaritmo logb bA+B = A+B

$$ \log_b { x \cdot y } = A+B $$

Sapendo che A=logb x e B=logb y

$$ \log_b { x \cdot y } = \log_b x + \log_b y $$

La proprietà è dimostrata

2] Il logaritmo del quoziente

La proprietà da dimostrare è

$$ \log_b ( \frac{x}{y} ) = \log_b x - \log_b y $$

Assegno i logaritmi nel membro di destra alle variabili A e B

$$ A=log_b x $$

$$ B=log_b y $$

e da queste ricavo x e y

$$ x = b^A $$

$$ y = b^B $$

Pertanto, il rapporto x/y è uguale al prodotto bA/bB

$$ \frac{x}{y} = \frac{b^A}{b^B} $$

Per la proprietà delle potenze con la stessa base

$$ \frac{x}{y} = b^{A-B} $$

Per la proprietà invariantiva applico il logaritmo a entrambi i membri dell'equazione

$$ \log_b \frac{x}{y} = \log_b b^{A-B} $$

Per la proprietà del logaritmo logb bA-B = A-B

$$ \log_b \frac{x}{y} = A-B $$

Sapendo che A=logb x e B=logb y

$$ \log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y $$

La proprietà è dimostrata

3] Il logaritmo della potenza

La proprietà da dimostrare è

$$ log_b( x^y ) = y \cdot \log_b x $$

Assegno il logaritmo

$$ A = \log_b x $$

e da questa ricavo la x

$$ x = b^A $$

Pertanto, la potenza xy è uguale (bA)y

$$ x^y = ( b^A )^y $$

Per la proprietà delle potenze

$$ x^y = b^{A \cdot y} $$

Per la proprietà invariantiva applico il logaritmo a entrambi i membri dell'equazione

$$ \log_b (x^y) = \log_b b^{A \cdot y} $$

Per la proprietà del logaritmo logb bAy = Ay

$$ \log_b (x^y) = A \cdot y $$

Sapendo che A=logb x

$$ \log_b (x^y) = ( \log_b x ) \cdot y $$

$$ \log_b (x^y) = y \cdot \log_b x $$

La proprietà è dimostrata

4] Il logaritmo del radicale

La proprietà da dimostrare è

$$ log_b \ \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_b x $$

La radice ennesima posso scriverla come una potenza con esponente 1/n

$$ log_b \ x^{\frac{1}{n}}= \frac{1}{n} \cdot \log_b x $$

Ponendo y=1/n mi riconduco alla dimostrazione del logaritmo di una potenza che evito di riscrivere.

$$ log_b \ x^y= y \cdot \log_b x $$

E così via.

 


 

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