Proprietà dei logaritmi
Le principali proprietà dei logaritmi sono
- Logaritmo di un prodotto
Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi $$ log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \ \ \ con \ x>0 \ , \ y>0 $$Esempio $$ log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 $$
- Logaritmo di un quoziente
Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi $$ log_b( \frac{x}{y} ) = \log_b x - \log_b y \ \ \ con \ x>0 \ , \ y>0 $$Esempio $$ log_2( \frac{8}{4}) = \log_2 8 - \log_2 4 $$
- Logaritmo di una potenza
Il logaritmo di una potenza di un numero è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero $$ log_b( x^y ) = y \cdot \log_b x \ \ \ con \ x>0 $$Esempio $$ log_2( 8^2 ) = 2 \cdot \log_2 8 $$
- Logaritmo di un radicale
Il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente tra il logaritmo del radicando e l'indice della radice $$ log_b \ \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_b x \ \ \ con \ x>0 $$Esempio $$ log_2 \ \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$
Un esempio pratico
Esempio 1
In questo esempio
$$ log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 $$
il logaritmo del membro di destra è il logaritmo di 32 su base 2
$$ log_2(32) = \log_2 8 + \log_2 4 $$
Il logaritmo di 32 su base 2 è 5 perché 25=32
$$ 5 = \log_2 8 + \log_2 4 $$
Nel membro di destra il logaritmo di 8 su base 2 è 3 perché 23=8
$$ 5 = 3 + \log_2 4 $$
Infine, il logaritmo di 4 su base 2 è 2 perché 22=4
$$ 5 = 3 + 2 $$
$$ 5 = 5 $$
L'identità è soddisfatta
Esempio 2
In questo esempio
$$ log_2( \frac{8}{4} ) = \log_2 8 - \log_2 4 $$
il logaritmo del membro di destra è il logaritmo di 2 su base 2
$$ log_2(2) = \log_2 8 + \log_2 4 $$
Il logaritmo di 2 su base 2 è 1 perché 21=2
$$ 1 = \log_2 8 - \log_2 4 $$
Nel membro di destra il logaritmo di 8 su base 2 è 3 perché 23=8
$$ 1 = 3 - \log_2 4 $$
Infine, il logaritmo di 4 su base 2 è 2 perché 22=4
$$ 1 = 3 - 2 $$
$$ 1 = 1 $$
L'identità è soddisfatta
Esempio 3
In questo esempio
$$ log_2( 8^2 ) = 2 \cdot \log_2 8 $$
il logaritmo del membro di destra è il logaritmo di 64 su base 2
$$ log_2(64) = 2 \cdot \log_2 8 $$
Il logaritmo di 64 su base 2 è 6 perché 26=64
$$ 6 = 2 \cdot \log_2 8 $$
Nel membro di destra il logaritmo di 8 su base 2 è 3 perché 23=8
$$ 6 = 2 \cdot 3 $$
$$ 6 = 6 $$
L'identità è soddisfatta
Esempio 4
In questo esempio
$$ log_2 \ \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$
La radice cubica di 8 è uguale a 2 perchè 23=8
$$ log_2 \ 2 = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$
Il logaritmo di 2 su base 2 è uguale a 1 perché 21=2
$$ 1 = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$
Il logaritmo di 8 su base 2 è uguale a 3 perché 23=8
$$ 1 = \frac{1}{3} \cdot 3 $$
$$ 1 = 1 $$
L'identità è soddisfatta
La dimostrazione
In questo paragrafo dimostro le proprietà dei logaritmi
1] Il logaritmo del prodotto
La proprietà da dimostrare è
$$ \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y $$
Assegno i logaritmi nel membro di destra alle variabili A e B
$$ A=log_b x $$
$$ B=log_b y $$
e da queste ricavo x e y
$$ x = b^A $$
$$ y = b^B $$
Pertanto, il prodotto x·y è uguale al prodotto bA·bB
$$ x \cdot y = b^A \cdot b^B $$
Per la proprietà delle potenze con la stessa base
$$ x \cdot y = b^{A+B} $$
Per la proprietà invariantiva applico il logaritmo a entrambi i membri dell'equazione
$$ \log_b { x \cdot y } = \log_b { b^{A+B} } $$
Per la proprietà del logaritmo logb bA+B = A+B
$$ \log_b { x \cdot y } = A+B $$
Sapendo che A=logb x e B=logb y
$$ \log_b { x \cdot y } = \log_b x + \log_b y $$
La proprietà è dimostrata
2] Il logaritmo del quoziente
La proprietà da dimostrare è
$$ \log_b ( \frac{x}{y} ) = \log_b x - \log_b y $$
Assegno i logaritmi nel membro di destra alle variabili A e B
$$ A=log_b x $$
$$ B=log_b y $$
e da queste ricavo x e y
$$ x = b^A $$
$$ y = b^B $$
Pertanto, il rapporto x/y è uguale al prodotto bA/bB
$$ \frac{x}{y} = \frac{b^A}{b^B} $$
Per la proprietà delle potenze con la stessa base
$$ \frac{x}{y} = b^{A-B} $$
Per la proprietà invariantiva applico il logaritmo a entrambi i membri dell'equazione
$$ \log_b \frac{x}{y} = \log_b b^{A-B} $$
Per la proprietà del logaritmo logb bA-B = A-B
$$ \log_b \frac{x}{y} = A-B $$
Sapendo che A=logb x e B=logb y
$$ \log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y $$
La proprietà è dimostrata
3] Il logaritmo della potenza
La proprietà da dimostrare è
$$ log_b( x^y ) = y \cdot \log_b x $$
Assegno il logaritmo
$$ A = \log_b x $$
e da questa ricavo la x
$$ x = b^A $$
Pertanto, la potenza xy è uguale (bA)y
$$ x^y = ( b^A )^y $$
Per la proprietà delle potenze
$$ x^y = b^{A \cdot y} $$
Per la proprietà invariantiva applico il logaritmo a entrambi i membri dell'equazione
$$ \log_b (x^y) = \log_b b^{A \cdot y} $$
Per la proprietà del logaritmo logb bAy = Ay
$$ \log_b (x^y) = A \cdot y $$
Sapendo che A=logb x
$$ \log_b (x^y) = ( \log_b x ) \cdot y $$
$$ \log_b (x^y) = y \cdot \log_b x $$
La proprietà è dimostrata
4] Il logaritmo del radicale
La proprietà da dimostrare è
$$ log_b \ \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_b x $$
La radice ennesima posso scriverla come una potenza con esponente 1/n
$$ log_b \ x^{\frac{1}{n}}= \frac{1}{n} \cdot \log_b x $$
Ponendo y=1/n mi riconduco alla dimostrazione del logaritmo di una potenza che evito di riscrivere.
$$ log_b \ x^y= y \cdot \log_b x $$
E così via.
