Il limite notevole del coseno su x
Questo limite notevole mostra che il rapporto tra \(1 - \cos x \) e \( x \) tende a zero quando \(x \) si avvicina a zero. $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 $$
È uno dei risultati fondamentali nello studio dei limiti delle funzioni trigonometriche e viene spesso utilizzato per semplificare il calcolo di limiti più complessi.
Deriva dal fatto che, per valori molto piccoli di \( x \), la funzione \( \cos x \) si avvicina a \( 1 \) con una velocità tale che la differenza \(1 - \cos x \) diventa trascurabile rispetto a \( x \).
Dimostrazione
Questo limite notevole è una forma indeterminata
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = \frac{0}{0} $$
Per dimostrarlo, moltiplico e divido per \( 1 + \cos x \).
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} $$
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x \cdot (1 + \cos x)} $$
Secondo la prima regola fondamentale della trigonometria $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, quindi $ 1- \cos^2 x = \sin^2 x $ .
$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin^2 x }{x \cdot (1 + \cos x)} $$
Applico la proprietà associativa del prodotto
$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x} \cdot \sin x \cdot \frac{ 1 }{1 + \cos x} $$
In base al teorema del prodotto dei limiti, posso calcolare separatamente i tre limiti per $ x \to 0 $
$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \sin x \cdot \lim_{x \to 0} \frac{ 1 }{1 + \cos x} $$
Il primo limite è il limite notevole del seno.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x} =1 $$
Il secondo limite tende a zero.
$$ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 $$
Il terzo limite tende a 1/2
$$ \lim_{x \to 0} \frac{ 1 }{1 + \cos x} = \frac{1}{2} $$
Quindi, il prodotto dei limiti tende a zero, perché lo zero è l'elemento assorbente del prodotto. Qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \sin x \cdot \lim_{x \to 0} \frac{ 1 }{1 + \cos x} = 1 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} = 0 $$
Pertanto, anche il limite iniziale tende a zero.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 $$
Come volevasi dimostrare.
E così via.
