La geometria
La geometria è un ramo della matematica che studia le forme, sia nel piano che nello spazio, e come queste si relazionano tra loro.
La parola "geometria" deriva dal latino "geometrĭa" e dal greco antico "γεωμετρία" e significa letteralmente "misurazione della terra".
Nota. E' composta dal termine "Geo" (γή) che significa "terra" e dal termine "metria", una parola greca che significa "misura". Quindi, la geometria è in pratica lo studio della misurazione e delle relazioni delle forme sulla terra e nello spazio.
La storia della geometria
I primi studi risalgono alle prime civiltà umane, che l'usavano per risolvere problemi pratici, come gli antichi egizi che la utilizzavano per ridisegnare i confini dei campi dopo le inondazioni del Nilo.
Nota. Le esondazioni annuali del Nilo modificavano l'estensione e i confini dei campi agricoli. Pertanto, era necessario tracciare i confini periodicamente utilizzando tecniche di misurazione precise, anche per scopi fiscali. Da qui, il termine "geometria", che significa letteralmente "misura della terra".
I babilonesi usarono la geometria prevalentemente per l'osservazione delle stelle mentre i fenici per la navigazione.
I Greci, intorno al VI secolo a.C., iniziarono ad affrontare la geometria in modo più teorico e indipendente dagli utilizzi pratici, considerando le figure geometriche come modelli astratti del mondo reale da analizzare con la logica.
Questo approccio segna l'inizio della geometria razionale.
I greci cercarono di organizzare e razionalizzare le conoscenze geometriche attraverso ragionamenti logici, deduzioni e dimostrazioni.
Gli strumenti come la riga e il compasso divennero ampiamente utilizzati, e nacquero nuove tecniche dimostrative.La geometria greca divenne fondamentale per lo sviluppo di diverse scienze come la geografia, l'astronomia, l'ottica, la meccanica, oltre a molte tecniche pratiche come la navigazione.
Molti filosofi e matematici greci, come Thales, Pitagora, Platone, Aristotele ed Euclide, contribuirono significativamente a questo campo.
In particolar modo, la geometria greca è associata soprattutto a Euclide, un matematico greco del III secolo a.C., perché raccolse tutte le conoscenze geometriche del suo tempo in un'opera chiamata "Elementi di Euclide".
Questo libro, molto dettagliato e accurato, è stato per secoli il testo standard per lo studio della geometria e della matematica. Ancora oggi è uno dei primi capitoli che si studia a scuola nei libri di geometria.
Nota. L'opera di Euclide è anche uno dei primi esempi di un sistema assiomatico in geometria, perché il metodo di Euclide si basava su principi accettati come veri senza prova, detti assiomi, dai quali derivava tutti gli altri teoremi della geometria.
La geometria razionale o euclidea
La geometria razionale, nota anche come geometria euclidea, è un tipo di geometria che segue delle regole ben definite.
Queste regole, che includono definizioni, enti primitivi, postulati e teoremi, sono state sistematizzate per la prima volta da un matematico greco del III secolo a.C. di nome Euclide.
Per questo motivo, spesso usiamo il termine "geometria euclidea" per descrivere questa disciplina.
Nota. In sostanza, la geometria razionale consiste in uno studio strutturato che ci aiuta a comprendere la natura delle forme e delle dimensioni nel nostro mondo, sulla base delle regole fondamentali stabilite da Euclide.
Nel suo primo libro "Elementi", Euclide costruisce la base della sua opera su 23 definizioni che spiegano cosa sono un punto, una linea e una superficie.
Inoltre, presenta 5 postulati e 5 "nozioni comuni", che sono fondamentalmente delle regole di base.
Le "nozioni comuni" sono le seguenti:
- Se due cose sono uguali alla stessa cosa, allora sono uguali tra loro.
- Se aggiungi la stessa quantità a due cose uguali, le somme saranno uguali.
- Se sottrai la stessa quantità da due cose uguali, i resti saranno uguali.
- Se due cose coincidono con la stessa cosa, allora sono uguali a quella cosa.
- Un intero è sempre più grande della sua parte.
I cinque postulati di Euclide sono i seguenti:
- Puoi disegnare una linea retta tra due punti qualsiasi.
- Puoi estendere all'infinito un segmento di linea retta.
- Puoi disegnare un cerchio con qualsiasi segmento di linea retta come raggio e un estremo del segmento come centro.
- Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
- Se disegni due linee che intersecano una terza linea in modo che la somma degli angoli interni su un lato sia minore di due angoli retti, allora le due linee si intersecheranno sullo stesso lato se estese abbastanza.
La geometria analitica
La geometria analitica collega la geometria e l'algebra tramite l'uso di sistemi di coordinate per rappresentare punti e forme nello spazio.
Permette la descrizione di figure geometriche mediante equazioni e facilita il calcolo di distanze, angoli e intersezioni.
Questo approccio trasforma problemi geometrici complessi in problemi algebrici risolvibili, fondendo in modo innovativo due rami fondamentali della matematica.
Appunti di geometria
Alcuni appunti su argomenti e problemi della geometria.
- Gli enti geometrici
- Il piano cartesiano
- Il punto medio di un segmento
- L'equazione della retta
- Il coefficiente angolare
- L'equazione della retta in forma polare
- La retta passante tra due punti
- La distanza tra due punti
- La distanza minima tra un punto e una retta
- L'equazione della circonferenza in forma polare
- L'equazione cartesiana della sfera
- I punti interni ed esterni
- Piano secante, tangente o esterno alla sfera
