Coniche

Le coniche (o sezioni coniche) sono una famiglia di curve nel piano ottenute dall'intersezione tra un cono circolare retto e un piano.

A seconda dell'inclinazione e della posizione del piano rispetto al cono, si ottengono diversi tipi curve: ellisse, parabola e iperbole.

In generale una conica è un luogo di punti nel piano che soddisfano la sequente equazione di secondo grado:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Dove almeno uno tra i coefficienti A, B e C è diverso da zero.

Le sezioni coniche furono analizzate in dettaglio durante l'epoca ellenistica, intorno al 200 a.C., da Menecmo e Apollonio di Perga. Fu Apollonio a denominare le tre principali coniche come ellisse, parabola e iperbole, considerando la circonferenza un caso particolare dell'ellisse.

Le caratteristiche di una sezione conica

Per ottenere una conica faccio intersecare due rette r e s con un angolo α (detto semiapertura) in un punto V dello spazio detto "vertice".

La rotazione completa della retta r intorno alla retta s genera una superficie conica a due falde.

Per questa ragione la retta r è detta retta generatrice mentre la retta s è detta asse di rotazione.

Lo spazio all'interno della superficie è, invece, detto cono a due falde.

A questo punto interseco la conica a due falde con un piano con una determinata inclinazione β rispetto all'asse di simmetria.

I punti di intersezione del piano secante con la conica a due falde generano una curva detta "sezione conica" o semplicemente "conica"

Ad esempio, la conica della figura precedente mi appare sul piano in questa forma

A seconda dell'angolo α del cono (semiapertura) e dell'angolo β del piano posso ottenere diverse curve aperte o chiuse.

• Se β<α la sezione conica è una iperbole, ossia una curva aperta composta da due rami illimitati, perché il piano interseca due falde del cono.
  
• Se β=α la sezione conica è una parabola, ossia una curva aperta e illimitata composta da un solo ramo, perché il piano ha la stessa inclinazione dell'angolo del cono e interseca una sola falda del cono.
  
• Se β>α la sezione conica è una ellisse, ossia una curva chiusa e limitata, perché l'angolo del piano è maggiore della semiapertura.
  

  Esempio
  

• Se β=π/2 è un angolo retto (90°), dove "π" rappresenta il numero pi greco, la sezione conica si riduce a una circonferenza, ossia una curva chiusa e limitata con tutti i punti equidistanti dal suo centro.
  

Tipi di coniche

Le coniche sono classificate in base alla loro forma e alle proprietà geometriche:

• Ellisse
  L'ellisse è una curva chiusa ottenuta intersecando un cono con un piano inclinato tra θ e π/2 rispetto al suo asse. È definita dalla somma costante delle distanze dai suoi due fuochi. Ha due assi di simmetria, maggiore e minore. Se i due assi sono uguali si ottiene un cerchio.
  
• Parabola
  La parabola è l'insieme dei punti equidistanti da un fuoco (F) e una retta direttrice (d). Ha un asse di simmetria e si forma intersecando un cono con un piano parallelo a una sua retta generatrice, formando un angolo θ con l'asse della conica. Non è una curva chiusa e appartiene a una sola falda del cono.
  
• Iperbole
  L'iperbole è formata dall'intersezione di un cono con un piano inclinato meno di θ rispetto all'asse del cono. È definita dai punti la cui differenza di distanza da due fuochi fissi è costante. E' curva aperta e, poiché interseca entrambe le falde del cono, si divide in due rami opposti con due assi di simmetria.
  
• Circonferenza
  La circonferenza è un caso particolare di ellisse che si ottiene facendo intersecare il cono retto con un piano perpendicolare al suo asse. E' una curva chiusa.
  

Nota. Questi tipi di coniche sono dette "non degeneri" per distinguerle dalle coniche "degeneri" come il punto, la retta e una coppia di rette. Ad esempio, il punto può essere considerato una conica degenere che si ottiene intersecando la conica con un piano passante per il vertice del cono. Lo stesso vale per il piano che interseca una retta o due rette della conica. Anche in questi casi si parla di "coniche degeneri".

E così via