L'equazione della retta passante tra due punti

In due punti distinti del piano passa una e una sola retta. $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} $$
l'equazione della retta passante per due punti

Un esempio pratico

Considero due punti distinti del piano P1(7;4) e P2(4;2).

due punti del piano

L'equazione della retta passante per i due punti P1 e P2 è la seguente

$$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} $$

In questo caso (x1;y1)=(7;4) e (x2;y2)=(4;2)

Sostituisco x1=7, x2=4, y1=4, y2=2

$$ \frac{x-7}{4-7} = \frac{y-4}{2-4} $$

$$ \frac{x-7}{-3} = \frac{y-4}{-2} $$

Esplicito la y

$$ \frac{x}{-3} + \frac{-7}{-3} = \frac{y}{-2} + \frac{-4}{-2} $$

$$ \frac{y}{-2} = \frac{x}{-3} + \frac{-7}{-3} - 2 $$

$$ y = (-2) \cdot [ \frac{x}{-3} + \frac{7-6}{3} ] $$

$$ y = (-2) \cdot [ \frac{x}{-3} + \frac{1}{3} ] $$

$$ y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} $$

Questa è l'equazione esplicita della retta passante per i due punti P1(7;4) e P2(4;2).

Al variare di x ottengo tutti i punti della retta.

l'equazione della retta passante per due punti

La dimostrazione

Considero due punti distinti del piano P1(x1;y2) e P2(x2;y2)

Applico il concetto di fascio di rette per ricavare l'equazione delle rette che passano per il punto P1

$$ y - y_1 = m (x-x_1) $$

Dove m è il coefficiente angolare delle rette e può assumere infiniti valori, uno per ogni inclinazione delle rette ad eccezione della retta parallela all'asse y.

La retta che passa per i punti P1 e P2 ha il seguente coefficiente angolare.

$$ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$

Sostituisco il coefficiente angolare nell'equazione del fascio di rette passanti per il punto P1

$$ y - y_1 = m (x-x_1) $$

$$ y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) $$

Separo le variabili y e x nei due membri dell'equazione

$$ \frac{y - y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $$

Il risultato è l'equazione della retta passante per i due punti.

La retta passante per due punti in algebra lineare

La retta passante tra due punti posso dimostrarla anche usando il linguaggio dell'algebra lineare.

Questa seconda dimostrazione richiede la conoscenza del calcolo vettoriale e matriciale.

La dimostrazione

Dati due punti del piano

$$ P_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} $$ $$ P_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} $$

La retta passante per i due punti P2 e P1 equivale al seguente vettore direttore P2P1:

$$ v_r \equiv \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} $$

Dato il vettore direttore posso scrivere l'equazione vettoriale della retta che è uguale a

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} $$

Dalla quale ricavo il sistema di equazioni parametriche della retta partendo da P1

$$ \begin{cases} x = x_1 + t_1 \cdot ( x_2 - x_1 ) \\ y = y_1 + t_1 \cdot ( y_2 - y_1 ) \end{cases} $$

Nota. Partendo da P2 otterrei delle equazioni parametriche diverse ma il risultato finale sarebbe comunque lo stesso. Quindi, per continuare questa dimostrazione posso indifferentemente scegliere uno dei due sistemi di equazioni parametriche. $$ \begin{cases} x = x_2 + t_2 \cdot ( x_2 - x_1 ) \\ y = y_2 + t_2 \cdot ( y_2 - y_1 ) \end{cases} $$

Dato un punto generico P della retta, questo forma un vettore rispetto al punto P1.

$$ \overrightarrow{P_1P} = P - P_1 = \begin{pmatrix} x - x_1 \\ y - y_1 \end{pmatrix} $$

Il vettore P1P deve essere un vettore parallelo e proporzionale al vettore direttore P1P2 poiché si trova sulla retta r equivalente al vettore direttore vr.

Pertanto, i due vettori P1P e P1P2 devono essere vettori linearmente dipendenti.

Ponendo i due vettori in colonna in una matrice, il determinante è nullo.

$$ det \begin{pmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 \\ y-y_1 & y_2 - y_1 \end{pmatrix} = 0 $$

Svolgo i calcoli del determinante e ottengo

$$ ( x-x_1) \cdot (y_2-y_1) - (x_2 - x_1) \cdot (y - y_1) = 0 $$

Dalle quali ricavo l'equazione cartesiana della retta con pochi passaggi algebrici.

$$ ( x-x_1) \cdot (y_2-y_1) = (x_2 - x_1) \cdot (y - y_1) $$

$$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} $$

Ho così determinato la formula dell'equazione generale della retta passante tra due punti.

La dimostrazione finisce qui.

Un esempio pratico

Dati due punti del piano P1 e P2

$$ P_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = P_1 \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} $$

$$ P_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = P_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} $$

La cui rappresentazione grafica è la seguente:

la rappresentazione del vettore

Fisso un verso da P1 a P2 e ottengo un vettore P1P2

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = P_2 - P_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-7 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

il vettore della retta passante da P1 a P2

L'equazione vettoriale della retta è uguale a

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 - 7 \\ 2 -4 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Da questa ottengo l'equazione parametrica della retta

$$ \begin{cases} x = 7 - 3t \\ y = 4 - 2t \end{cases} $$

Tramite l'equazione parametrica posso tracciare tutti i punti della retta variando il valore del parametro t.

Pertanto, un generico punto mobile della retta è il seguente:

$$ P \begin{pmatrix} 7 - 3t \\ 4 - 2t \end{pmatrix} \:\: con \:\: t \:\: \in \:\: R $$

Con il parametro t=0 si ottiene il punto P1 ossia il punto iniziale del vettore P1P2.

Incrementando il parametro t, il punto si muove verso il punto P2.

Quando il parametro è t=1, si ottiene il punto P2 ossia il punto finale del vettore P1P2.

il punto mobile è determinato dalle equazioni parametriche

A questo punto devo trovare le equazioni cartesiane.

Per i punti P1 e P2 passa anche una retta r.

una retta passante per i due punti

Dato un generico punto P della retta r

$$ P \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Il punto P e il punto iniziale P1 formano un altro vettore P1P

$$ \overrightarrow{P_1P} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{P_1P} = \begin{pmatrix} x-7 \\ y-4 \end{pmatrix} $$

Il vettore P1P che giace sulla retta r è proporzionale al vettore geometrico P2P1 di prima ( ossia vr ), perché la retta r passa per gli stessi punti P1 e P2.

$$ \overrightarrow{P_1P} = \begin{pmatrix} x-7 \\ y-4 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

I due vettori sono vettori proporzionali se sono linearmente dipendenti.

In questo caso il determinante della matrice formata con i vettori in colonna deve essere uguale a zero.

$$ det \begin{pmatrix} x-7 & -3 \\ y-4 & -2 \end{pmatrix} = 0 $$

Svolgo i calcoli del determinante e ottengo l'equazione cartesiana della retta.

$$ (x-7) (-2) - (-3) (y-4) = 0 $$

$$ -2x + 14 + 3y - 12 = 0 $$

$$ -2x + 3y + 2 = 0 $$

Posso così calcolare una delle due coordinate x, y della retta in funzione dell'altra.

$$ y = \frac{2x - 2}{3} $$

A cosa serve conoscere l'equazione cartesiana? Mi permette di capire se un punto del piano con coordinate (x,y) appartiene o meno alla retta.

E così via.

 


 

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Rappresentazione vettoriale della retta