Il rettangolo
Il rettangolo è un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti e retti.
Essendo un parallelogramma anche in un rettangolo:
- i lati opposti sono congruenti e paralleli
- gli angoli opposti sono congruenti
- gli angoli adiacenti a un lato sono supplementari
- le diagonali si incontrano nel loro punto medio
Inoltre ogni angolo del rettangolo è un angolo retto (90°).
Essendo un quadrilatero, in un rettangolo la somma degli angoli interni è uguale a 360°. Sapendo che gli angoli di un rettangolo sono congruenti, si deduce immediatamente che ogni angolo del rettangolo è un angolo retto (90°) ossia 360° diviso quattro.
In un rettangolo le diagonali sono congruenti ossia hanno la stessa lunghezza.
Ogni diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangolo congruenti.
Inoltre, le due diagonali dividono il rettangolo in quattro triangoli isoscele a due a due congruenti.
Le principali formule del rettangolo
- Il perimetro del rettangolo è uguale alla somma della base e dell'altezza per due. $$ P = 2 \cdot (b + h ) $$
- L'area del rettangolo è uguale al prodotto della base per l'altezza $$ A = b \cdot h $$ Vedi la dimostrazione.
- La diagonale è uguale alla radice quadrata della somma del quadrato della base e dell'altezza. Si ottiene applicando il teorema di Pitagora. $$ d = \sqrt{b^2 + h^2} $$
La base e l'altezza del rettangolo
La base e l'altezza di un rettangolo sono anche dette dimensioni del rettangolo.
In un rettangolo ogni lato può essere preso come base e il lato consecutivo come altezza.
Ad esempio, nel rettangolo ABCD posso considerare come base il segmento AB e come altezza il lato consecutivo BC (o AD).
In alternativa, nello stesso rettangolo posso considerare come base BC e come altezza il lato consecutivo CD (o AB).
Osservazioni
Alcune osservazioni e note sui rettangoli
- Un rettangolo ha le diagonali congruenti
Dimostrazione. Un rettangolo è un parallelogramma, quindi ha gli angoli e i lati opposti congruenti AB≅CD e AD≅BC. Inoltre, ha tutti gli angoli congruenti e retti.
Pertanto, per il primo criterio di congruenzagli angoli del rettangolo sono angoli retti i triangoli ABD e ABC sono congruenti, in quanto hanno i due lati cateti congruenti AB≅CD e AD≅BC e l'angolo tra di essi congruente (α≅β). Quindi, essendo due triangoli congruenti ABD≅ABC, hanno tutti i lati congruenti anche le rispettive ipotenuse AC≅BD che sono le diagonali del rettangolo. Pertanto, le diagonali del rettangolo sono congruenti. - Ogni diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangolo congruenti
Dimostrazione. Ogni rettangolo ha i lati opposti congruenti e gli angoli retti. Questo basta per stabilire la congruenza tra i due triangoli generali da una delle due diagonali. Ad esempio, la diagonale AC divide il rettangolo in due triangoli ABC e ACD.
I due triangoli hanno un lato in comune (AC) e due lati congruenti AD≅BC e AB≅CD. Quindi, per il terzo criterio di congruenza (LLL) sono due triangoli congruenti. Poiché hanno entrambi un angolo retto sono anche triangoli rettangolo. Lo stesso discorso si ripete per l'altra diagonale BD del rettangolo. - Le due diagonali dividono il rettangolo in quattro triangoli isoscele a due a due congruenti
Dimostrazione. Ogni rettangolo ha i lati opposti congruenti, le diagonali congruenti e gli angoli retti. Essendo un parallelogramma, le diagonali (AC≅BD) si incontrano nel loro punto medio M. Quindi, sono congruenti tra loro anche le semidiagonali AM≅CM≅BM≅DM.
Le due diagonali dividono il rettangolo in quattro triangoli. Presi a coppia, per il terzo criterio di congruenza (LLL) i triangoli opposti AMD≅BMC e ABM≅CDM sono congruenti, perché hanno i tre lati congruenti nello stesso ordine. Inoltre, tutti i triangoli hanno i lati obliqui congruenti, perché coincidono con le semidiagonali (AM≅CM≅BM≅DM) del rettangolo. Pertanto, i quattro triangoli sono triangoli isosceli. - Un parallelogramma è un rettangolo se almeno uno degli angoli è un angolo retto
Se un angolo del parallelogramma è un angolo retto (90°) allora sono angoli retti anche gli altri angoli. Quindi, il parallelogramma è un rettangolo.Dimostrazione. In un parallelogramma gli angoli adiacenti a un lato sono angoli supplementari (180°). Quindi, se un angolo ha un'ampiezza di 90° (angolo retto) anche l'altro angolo adiacente allo stesso lato ha la stessa ampiezza, perché essendo angoli supplementari la loro somma è pari a 180°=90°+90°. Così facendo si dimostra, uno dopo l'altro, che tutti i restanti angoli del rettangolo sono retti.
- Un parallelogramma è un rettangolo se ha le diagonali congruenti
Dimostrazione. Per ipotesi iniziale il parallelogramma ABCD ha le diagonali congruenti AC≅BD. Devo dimostrare che questo è sufficiente per affermare che ABCD è un rettangolo.
Sapendo che la figura ABCD è un parallelogramma, deduco che ha i lati opposti congruenti AB≅CD e BC≅AD.
Pertanto, per il terzo criterio di congruenza i triangoli ABC e ABD sono congruenti, ossia ABC≅ABD, poiché hanno tutti i lati congruenti nello stesso ordine. Quindi, essendo triangoli congruenti, i due triangoli hanno anche tutti gli angoli congruenti nello stesso ordine. In particolar modo mi interessa sapere che sono congruenti gli angoli α≅β. Sapendo che in un parallelogramma gli angoli adiacenti a un lato sono angoli supplementari α+β=180°, essendo anche angoli congruenti α≅β, deduco che ognuno di loro è un angolo retto α=90° e β=90°. A questo punto, è sufficiente aver dimostrato che un angolo del parallelogramma è un angolo retto per affermare che lo sono anche tutti gli altri. Questo dimostra che il parallelogramma è un rettangolo.
E così via
