I poligoni
Un poligono è un insieme di punti del piano delimitato da una linea spezzata chiusa, non intrecciata, e dai suoi punti interni.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa (o poligonale chiusa) sono detti lati del poligono.
Gli estremi dei lati sono, invece, detti vertici del poligono.
In genere, i lati del poligono sono indicati con le lettere minuscole mentre i vertici con le lettere maiuscole.
La parola "poligono" deriva dal greco antico πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo") e significa "molte angolature", riferendosi ai molteplici angoli che la figura geometrica può avere. Nella geometria piana un poligono ha almeno tre lati, perché una spezzata chiusa deve essere composta almeno da tre punti distinti (vertici).
Ogni vertice di un poligono ha un angolo interno e un angolo esterno.
I punti che si trovano sulla spezzata chiusa sono detti perimetro del poligono.
I punti all'interno della spezzata chiusa sono detti punti interni mentre quelli che si trovano al di fuori della spezzata chiusa sono detti punti esterni del poligono.
La classificazione dei poligoni
Esistono diverse classificazioni dei poligoni.
In generale, un poligono è detto "poligono semplice" se i suoi lati non consecutivi non si intersecano.
Viceversa, è detto "poligono intrecciato" (o "complesso").
Un altro tipo di classificazione si basa sulla congruenza dei suoi lati e angoli.
Il poligono è detto poligono regolare se ha tutti gli angoli e i lati congruenti, ossia della stessa lunghezza.
In caso contrario, è detto poligono irregolare.
Ad esempio, un quadrato è un poligono regolare perché ha tutti i lati e gli angoli congruenti mentre il rettangolo è un poligono irregolare perché i lati non sono congruenti. Allo stesso modo il triangolo equilatero è un poligono regolare mentre il triangolo scaleno è un poligono irregolare.
Oltre a queste classificazioni ne esistono altre basate sulla concavità/convessità della figura geometrica o sul numero degli angoli.
Poligoni concavi e convessi
Un poligono può essere convesso o concavo
- Poligoni convessi
Un poligono convesso è una figura in cui, presi due punti qualsiasi A e B, il segmento AB che li ha per estremi è interamente contenuto all'interno del poligono. In altre parole, nel segmento non ci sono punti esterni.I poligoni convessi hanno un angolo interno e un angolo esterno.
Nota. Un poligono convessi ha tutti gli angoli convessi. Inoltre, se considero la retta che comprende uno dei suoi lati, il poligono è interamente contenuto in uno dei due semipiani individuati dalla retta.
- Poligono concavi
Un poligono concavo (non convesso) è una figura in cui esistono almeno due punti A e B il cui il segmento AB che li ha per estremi non è tutto contenuto all'interno del poligono. Detto in modo diverso, nel segmento ci sono dei punti esterni del poligono.
Nota. Un poligono concavo deve avere almeno quattro lati. Inoltre, almeno uno dei suoi angoli interni deve essere maggiore di un angolo piatto (180°) ossia deve esserci almeno un angolo interno concavo.
Tipi di poligoni
I poligoni hanno un nome diverso a seconda del numero degli angoli
| Poligoni | Angoli |
|---|---|
| Triangolo | 3 angoli |
| Quadrilatero | 4 angoli |
| Pentagono | 5 angoli |
| Esagono | 6 angoli |
| Ettagono (Eptagono) | 7 angoli |
| Ottagono | 8 angoli |
| Ennagono | 9 angoli |
| Decagono | 10 angoli |
| Endecagono | 11 angoli |
| Dodecagono | 12 angoli |
Le diagonali e le corde del poligono
Una diagonale del poligono è un segmento che ha per estremi due vertici non appartenenti allo stesso lato.
Ad esempio, i segmenti EC ed EB sono due diagonali del poligono.
Quante diagonali ha un poligono? Ogni poligono ha n·(n-3)/2 diagonali. Dove n è il numero dei vertici o dei lati. $$ \frac{n \cdot (n-3)}{2} $$ Ad esempio, il pentagono ha n=5 lati, quindi, ha 5 diagonali $$ \frac{5 \cdot (5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$ Per verificarlo, basta tracciare tutte le diagonali del pentagono e contarle.
Una corda del poligono è il segmento che ha per estremi due punti qualsiasi del perimetro, non appartenenti allo stesso lato.
Ogni poligono ha infinite corde, perché i punti che compongono il perimetro di una figura geometrica sono infiniti.
Osservazioni
Alcune osservazioni, proprietà e note a margine sui poligoni.
- Due poligoni sono congruenti se possono essere sovrapposti con un movimento rigido
I poligoni congruenti hanno i lati congruenti e gli angoli congruenti nello stesso ordine, ossia hanno le stesse misure. - Perimetro di un poligono
Il perimetro di un poligono è uguale alla somma delle lunghezze dei suoi lati. - La somma degli angoli interni di un poligono con n lati è data dalla seguente formula $$ (n−2) \cdot 180° $$
Ad esempio, il quadrato ha n=4 lati. Pertanto, la somma dei suoi angoli interni è 360°. $$ (4−2) \cdot 180° = 2 \cdot 180° = 360° $$ Effettivamente, un quadrato ha quattro angoli retti (90°).
- Un poligono con n lati ha n vertici e n angoli.
Ogni lato di un poligono termina in due vertici. Tuttavia, sapendo che ogni vertice è condiviso da due lati, il numero totale di vertici è lo stesso del numero di lati. Analogamente, ogni vertice ha un angolo associato, quindi il numero di angoli è anch'esso uguale al numero di lati.
E così via.
