Piano secante, tangente o esterno a una sfera
Un piano a può essere secante, tangente oppure esterno rispetto a una sfera con centro C e raggio r se la distanza tra il piano e il centro della sfera è rispettivamente inferiore, uguale o maggiore del raggio. $$ d(C,a)<r \:\: secante \\ d(C,a)=r \:\: tangente \\ d(C,a)>r \:\: esterno $$
Un esempio pratico
Data una sfera con il centro C alle coordinate (x,y,z) dello spazio e un raggio uguale a due.
$$ C = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ r = 2 $$
Prendo un piano α nello spazio
$$ α: -3x+2y+z=0 $$
Devo verificare se il piano è secante, tangente o esterno alla sfera.
Calcolo la distanza tra il punto centrale C della sfera e il piano.
$$ d(C,α) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+b^2}} $$
$$ d(C,α) = \frac{|-3x_0+2y_0+1z_0+d|}{\sqrt{(-3)^2+2^2+1^2}} $$
$$ d(C,α) = \frac{|-3(5)+2(3)+1(2)+0|}{\sqrt{(-3)^2+2^2+1^2}} $$
$$ d(C,α) = \frac{|-15+6+2|}{\sqrt{9+4+1}} $$
$$ d(C,α) = \frac{|-7|}{\sqrt{14}} $$
$$ d(C,α) = \frac{7}{\sqrt{14}} \approx 1.87 $$
La distanza tra il piano e il centro della sfera è inferiore al raggio.
$$ d(C,α) \approx 1.87 < r = 2 $$
Quindi il piano è secante alla sfera.
E così via.
