La trasformazione geometrica

Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca tra ogni punto del piano (o dello spazio) e un altro punto dello stesso piano (o spazio).

Esistono diverse trasformazioni geometriche: rotazioni, traslazioni, isometrie, ecc.

In termini formali, una trasformazione geometrica è una qualsiasi applicazione T invertibile che associa ogni punto di un insieme non vuoto X a un punto P' dell'insieme Y.

$$ T: X \rightarrow Y $$

Dove l'insieme Y è l'immagine T(X) dell'insieme X rispetto all'applicazione T.

In parole più semplici, le trasformazioni geometriche sono operazioni matematiche che modificano la posizione o la forma di un oggetto in uno spazio geometrico. Le trasformazioni possono essere applicate a varie entità geometriche, come punti, linee, forme e figure solide.

Un esempio

Considero una figura geometrica ABC.

Se ruoto una figura geometrica per un determinato angolo alfa, ottengo una corrispondenza biunivoca tra i punti A e A', B e B', C e C'.

I punti A', B' e C' dopo la trasformazione sono rispettivamente detti immagini o trasformati dei punti A, B, C.

Considerando la rotazione come una funzione biettiva f, posso anche scrivere

$$ A' = f(A) $$

$$ B' = f(B) $$

$$ C' = f(C) $$

Questa notazione si legge "A' è uguale a effe di A", e via dicendo.

E ovviamente lo stesso vale anche tra tutti gli altri punti e segmenti della figura.

Ad esempio, il segmento A'B' è l'immagine del segmento AB.

Questo è un esempio pratico di trasformazione geometrica.

Nota. In questo esempio, il punto P ha un'immagine che corrisponde a se stesso. In altre parole, il punto P non cambia la sua posizione nel piano dopo la rotazione. In questo caso si dice che P è un punto unito.

Tipi trasformazioni geometriche

Esistono diversi tipi di trasformazioni geometriche.

Ecco un elenco delle principali trasformazioni geometriche:

• Traslazione
  Spostamento di tutti i punti di una figura di una distanza costante in una direzione specificata. La figura traslata mantiene la stessa forma e dimensione dell'originale.
  
• Rotazione
  Movimento circolare di una figura intorno a un punto fisso (centro di rotazione). La distanza di ogni punto della figura dal centro di rotazione rimane costante.
  
• Riflessione (o specchiamento)
  Ribaltamento di una figura rispetto a una linea (asse di riflessione), creando un'immagine speculare.
  
• Isometria
  Le isometrie sono trasformazioni geometriche che preservano le distanze tra i punti e le dimensioni degli oggetti. Ad esempio, la traslazione, la rotazione e la riflessione sono  trasformazioni isometriche.
• Omotezia (o scalatura)
  Non preserva le dimensioni ma mantiene le proporzioni e le forme generali degli oggetti. Cambia la dimensione di una figura attraverso la moltiplicazione delle distanze di tutti i suoi punti da un punto fisso (centro di omotezia) per un fattore costante.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine

• Le trasformazioni geometriche possono essere rappresentate matematicamente tramite equazioni, matrici, o funzioni. Ad esempio, una traslazione può essere espressa tramite l'aggiunta di un vettore costante a ogni punto, mentre una rotazione può essere rappresentata da una matrice di rotazione. E così via.

E così via