Isometria

L'isometria è una trasformazione geometrica che conserva le distanze tra i punti.

In altre parole, se due punti hanno una certa distanza tra di loro prima della trasformazione, avranno la stessa distanza anche dopo la trasformazione.

Questo vuol dire che ogni isometria trasforma una figura in una figura congruente.

Ad esempio, il primo triangolo viene ruotato di 90° in senso orario e spostato più a destra. La distanza tra i punti A, B, C è la stessa.

Pertanto, la rotazione e lo spostamento sono due trasformazioni isometriche.

Inoltre, entrambi i triangoli sono congruenti perché le lunghezze dei lati sono sempre le stesse.

Il termine 'isometrico' è spesso utilizzato come sinonimo di 'congruente'. La sua origine etimologica proviene dal greco, dove 'isos' significa 'stesso' e 'metros' indica 'misura'. Ad esempio, i due triangoli precedenti sono congruenti perché hanno i lati e gli angoli congruenti anche dopo la rotazione e lo spostamento.

Le trasformazioni che generano una isometria sono dette trasformazioni isometriche oppure trasformazioni rigide (o movimenti rigidi) perché non alterano la forma o le dimensioni degli oggetti.

Gli oggetti dell'isometria sono, invece, detti figure isometriche, sono gli oggetti che mantengono le stesse misure.

Tipi di isometrie

Le principali trasformazioni isometriche sono le seguenti:

• Traslazione
  Ogni punto si sposta di una quantità fissa in una direzione specificata.
  
• Rotazione
  Ogni punto ruota attorno a un punto fisso chiamato centro di rotazione.
• Simmetria assiale
  Ogni punto viene riflesso rispetto a una retta, chiamata asse di riflessione.
• Simmetria centrale
  Ogni punto viene mappato in un punto diametralmente opposto rispetto a un punto centrale.

Le composizioni di isometrie

Quando eseguo due o più trasformazioni isometriche in una sequenza specifica su una figura geometrica, il risultato finale può essere descritto come una composizione di isometrie.

Ad esempio, sposto un triangolo su una retta orizzonale per 10 cm (traslazione) e poi lo ruoto di 180° (rotazione).

 

Ovviamente, la composizione di due isometrie è ancora un'isometria.

Poiché ogni singola isometria conserva le distanze tra i punti e le forme della figura, anche una composizione isometrica conserva queste proprietà.

In altre parole, una figura sottoposta a una composizione di isometrie mantiene la sua forma e dimensione originale.

Nota. Va però ricordato che la composizione di isometrie non è sempre commutativa. In altre parole, l'ordine in cui eseguo le trasformazioni geometriche potrebbe influenzare il risultato finale. Ad esempio, una rotazione seguita da una traslazione produce un risultato diverso da una traslazione seguita da una rotazione.

Le invarianti dell'isometria

In un'isometria, alcune caratteristiche di una figura vengono modificate, come la sua posizione, mentre altre rimangono invariate.

Le caratteristiche che non variano sono note come "invarianti" dell'isometria.

 

Le principali proprietà invarianti durante un'isometria sono:

• Distanza tra i punti
  Nelle isometrie, la distanza tra i punti rimane inalterata. Ciò significa che, per esempio, se in una figura iniziale la distanza tra due punti A e B è di 5 cm, tale distanza si conserva identica anche nella figura immagine risultante dopo aver applicato una trasformazione isometrica.
• Lunghezza dei segmenti
  La lunghezza dei segmenti non cambia tra la figura originale e la sua immagine. Ad esempio, i segmenti AB, BC e AB hanno la stessa lunghezza in entrambi i triangoli.
• Ampiezza degli angoli
  La misura dell'ampiezza degli angoli rimane costante dopo un'isometria. Ad esempio, gli angoli α, β, γ del triangolo hanno la stessa ampiezza dopo la trasformazione isometrica.
• Area della figura
  La superficie totale della figura non subisce variazioni. Ad esempio, la superficie del triangolo non cambia dopo la trasformazione isometrica.
• Forma e dimensione
  In una isometria la forma e la dimensione della figura geometrica non cambia. Sono invarianti.
• Allineamento dei punti
  Se due o più punti sono allineati nella figura originale, lo saranno anche nella sua immagine. Ad esempio, i punti A e B sono allineati sia nel triangolo di origine che nel triangolo immagine dopo la trasformazione.
• Parallelismo delle rette
  Le rette che sono parallele nella figura originale mantengono il loro parallelismo nell'immagine.
• Perpendicolarità delle rette
  Le rette che sono perpendicolari nella figura originale conservano questa caratteristica anche nella loro immagine. Ad esempio, i segmenti AB e BC sono perpendicolari sia nel primo triangolo (origine) che nel secondo triangolo (immagine dell'isometria).

Osservazioni

Alcune osservazioni personali e note a margine sulle isometrie:

• Le isometrie sono congruenze
  Le isometrie sono trasformazioni geometriche che producono figure congruenti, perché preservano le lunghezze dei segmenti e le ampiezze degli angoli. Pertanto, le figure risultati sono sovrapponibili punto a punto alle figure originali dopo alcuni movimenti rigidi, soddisfando la definizione di congruenza della geometria euclidea.
• Le isometrie sono un tipo particolare di similitudine
  Le isometrie sono similitudini che hanno un rapporto di similitudine uguale a 1. Soddisfano tutte le proprietà delle similitudini:
  • conservano il parallelismo tra i segmenti
  • gli angoli corrispondenti sono congruenti
  • i segmenti corrispondenti sono congruenti
  Pertanto, in una isometria la forma della figura non cambia, è una proprietà invariante (come nelle similitudini), perché gli angoli hanno la stessa ampiezza (sono congruenti). Inoltre, i segmenti corrispondenti hanno la stessa lunghezza (sono congruenti), ovvero sono proporzionali con un rapporto di proporzionalità pari a 1.

E così via.