La superficie in geometria

In geometria la superficie è un'estensione bidimensionale, caratterizzata dalla presenza di lunghezza e larghezza, ma priva di profondità. Per dirla in modo più semplice, la superficie è una regione del piano delimitata da una linea o più linee chiuse che non si intersecano.

L'estensione della superficie è un concetto intuitivo della geometria elementare. Dove per "intuitivo" intendo primitivo, ossia non definibile, come il punto, la retta e il piano.

Una superficie può essere chiusa o aperta.

• Superficie chiusa
  Una superficie chiusa è delimitata entro uno spazio finito da un bordo (es. figure geometriche chiuse, poligoni, ecc.). Ad esempio, la corona circolare è un esempio di superficie chiusa compresa tra due linee curve chiuse che non si intersecano mai. In questi casi l'estensione della superficie è sempre calcolabile.
  
• Superficie aperta
  Una superficie aperta si estende all'infinito in una o più direzioni (es. piano, semipiano superficie tra due rette parallele, ecc.) nello spazio euclideo a due dimensioni (x;y). Quindi, la sua estensione è infinita e non è calcolabile.
  

In genere, quando in geometria si parla di "superficie" senza specificare altro, si intende la superficie limitata e chiusa di una figura geometrica piana.

Nota. La superficie può essere vista anche come un insieme di punti dello spazio euclideo tridimensionale (x;y;z). In effetti, il concetto di superficie nasce dall'esigenza di misurare il contorno di un oggetto solido. Ad esempio, nel caso del cubo la superficie è la somma delle aree dei quadrati che si trovano in ogni faccia.

Tipi di superfici

Principalmente, posso distinguere due tipologie principali di superfici: le superfici piane e le superfici curve.

• Superfici piane
  Si tratta di una superficie completamente priva di curvatura, che si estende in modo uniforme e costante in tutte le direzioni di un piano. Può essere limitata a una regione finita dello spazio oppure no. In un contesto più teorico e matematico, corrisponde al concetto di piano, una nozione astratta che si proietta all'infinito.

  Un esempio di superficie piana è un foglio di carta. Va comunque detto che il foglio di carta ha fisicamente uno spessore, seppure minimo. Una superficie piana, invece, è un concetto più astratto perché priva di spessore. In parole povere, nella geometria piana lo spessore di una superficie può essere ignorato anche se esiste.

• Superfici curve
  A differenza delle superfici piane, le superfici curve presentano una variazione nella loro forma. Non sono piatte. Anche in questo caso possono essere delimitate a una regione dello spazio oppure estendersi all'infinito in ogni direzione. Queste superfici hanno un livello di complessità geometrica più elevato rispetto a quelle piane.

  Alcuni esempi comuni di superfici curve sono la superficie di una sfera o quella di un cilindro. Sono entrambe superfici chiuse che delimitano lo spazio euclideo. Le superfici curve sono oggetto di studio delle geometrie non euclidee.
  

Oltre a queste categorie, la matematica moderna contempla anche superfici in spazi di dimensioni superiori alle tre dimensioni, un concetto che supera la nostra capacità intuitiva di visualizzazione, ma che riveste un ruolo cruciale in ambiti scientifici come la topologia.

Le superfici equivalenti

Due superfici sono equivalenti quando hanno la stessa estensione ossia la stessa area.

Ad esempio, un triangolo e un quadrato sono superfici equivalenti quando hanno la stessa area, anche se la loro forma è diversa e non sono figure congruenti.

Quando due superfici sono equivalenti appartengono alla stessa classe di equivalenza.

Nota. Quest'ultimo esempio dimostra anche che l'equivalenza tra due figure non implica la congruenza. Due figure congruenti sono sempre equivalenti ma non accade sempre il contrario. Due figure equivalenti potrebbero non essere congruenti.

La somma e la differenza delle superfici

La somma di due superfici S₁ e S₂ non sovrapposte è uguale alla somma delle rispettive aree Area(S₁)+Area(S₂).

Allo stesso modo, la differenza tra due superfici S₁ e S₂ non sovrapposte è uguale alla differenza delle loro aree Area(S₁)-Area(S₂).

Il confronto tra le superfici

Il confronto tra le superfici può avere uno di questi esiti

• Superfici equivalenti
  Le superfici sono equivalenti se hanno la stessa estensione (area).
  
• Superficie prevalente
  Una superficie è prevalente se ha un'estensione (area) maggiore dell'altra. Questo vuol dire che la figura occupa più spazio. Posso dire anche che la superficie è "maggiore" dell'altra.
  
• Superficie suvvalente
  Una superficie è suvvalente se ha un'estensione (area) minore dell'altra. Questo implica che la figura occupa meno spazio. Si può dire anche che la superficie è "minore" dell'altra.
  

E così via.