Geometria analitica
La geometria analitica, anche conosciuta come geometria cartesiana, è un ramo della matematica che utilizza metodi algebrici per rappresentare e risolvere problemi geometrici.
In altre parole, la geometria analitica si basa sulla corrispondenza tra gli enti geometrici e quelli algebrici.
Qual è la differenza con la geometria euclidea?
La geometria euclidea viene costruita su assiomi e costruzioni geometriche in modo puramente astratto. Ad esempio, i postulati di Euclide.
La geometria analitica, invece, utilizza coordinate (x;y) o (x;y;z) e l'algebra per rappresentare le figure geometriche (es. punti, linee, curve, figure piane, solidi, ecc.) e per risolvere problemi geometrici nel piano o nello spazio.
I concetti fondamentali della geometria analitica sono i seguenti:
- Equazioni
Le forme geometriche sono rappresentate tramite equazioni. Ad esempio, una linea retta nel piano può essere espressa come un'equazione lineare di due variabili $ ax+by+c=0 $, mentre un cerchio può essere descritto da un'equazione quadratica $ x^2+y^2=r $ dove r è il raggio. Le equazioni più complesse possono rappresentare curve (come le parabole, le iperboli e le ellissi) o superfici nello spazio. - Sistema di coordinate
Il più comune è il sistema di coordinate cartesiane detto "piano cartesiano", che utilizza due o tre assi perpendicolari rispettivamente per il piano (2 dimensioni) e lo spazio (3 dimensioni) per definire la posizione di un punto. Ogni punto viene identificato da una coppia di numeri chiamati coordinate (x;y) che indicano la sua posizione lungo gli assi.
Nel caso dello spazio le coordinate di ogni punto sono una tripletta di numeir (x;y;z) perché lo spazio ha tre dimensioni.
Uno degli obiettivi principali della geometria analitica è trovare i punti in cui le curve (o le superfici) si incontrano o intersecano, il che equivale a risolvere sistemi di equazioni.
La geometria analitica permette di calcolare la distanza tra due punti o l'angolo tra due linee utilizzando le coordinate dei punti e le equazioni delle linee.
Origine e storia della geometria analitica. L'introduzione della geometria analitica nel XVII secolo da parte di René Descartes (in italiano "Cartesio") e Pierre de Fermat ha segnato una svolta importante nella matematica, consentendo un'integrazione senza precedenti tra l'algebra e la geometria. Per questa ragione oggi la geometria analitica è anche conosciuta come "geometria cartesiana". Questo approccio ha aperto la strada a sviluppi successivi in diverse aree della matematica e della fisica, come il calcolo differenziale e integrale, la meccanica classica e la relatività.
Un esempio pratico
Devo trovare il punto di intersezione tra due linee nel piano cartesiano.
Le linee sono rappresentate dalle seguenti equazioni:
$$ L_1: y = 2x + 1 $$
$$ L_2: y = -x + 5 $$
Per trovare il punto di intersezione delle due linee, devo trovare il valore di \(x\) e \(y\) che soddisfa entrambe le equazioni contemporaneamente.
Questo si traduce nel risolvere il sistema di equazioni lineari formato dalle due equazioni delle linee.
Metto a sistema le due equazioni e risolvo rispetto a \(x\) e \(y\):
$$ \begin{cases} y = 2x+ 1 \\ y=-x+5 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -x+5 = 2x+ 1 \\ y=-x+5 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -x-2x = -5+ 1 \\ y=-x+5 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -3x = -4 \\ y=-x+5 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y=-x+5 \end{cases} $$
Sostituendo il valore di \(x = \frac{4}{3} \) nell'altra equazione per trovare \(y\):
$$ \begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y=-( \frac{4}{3} )+5 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y= \frac{-4+15}{3} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y= \frac{11}{3} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = 1.3333 \\ y= 3.6667 \end{cases} $$
Quindi, il punto di intersezione delle due linee \(L_1\) e \(L_2\) è \(\left(1.3333, 3.6667 \right)\).
Questo esempio dimostra la capacità della geometria analitica di affrontare e risolvere problemi geometrici mediante l'uso dell'algebra, eliminando la necessità di una rappresentazione grafica.
E così via.
