Le derivate di ordine pari e dispari
Le derivate di ordine pari e dispari sono derivate successive di una funzione che si distinguono in base al loro ordine di derivazione. Le derivate di ordine pari sono quelle di ordine 2, 4, 6, ecc., mentre le derivate di ordine dispari sono quelle di ordine 1, 3, 5, ecc.
Per comprendere questa distinzione, occorre ricordare che una funzione può essere derivata più volte, purché le derivate successive esistano.
La derivata prima si ottiene derivando la funzione originale. La derivata seconda si ottiene derivando la derivata prima. La derivata terza si ottiene derivando la derivata seconda, e così via.
Ad esempio, data una funzione \(f(x)\), le prime quattro derivate sono indicate nel seguente modo:
- Derivata prima: \(f'(x)\) - ordine dispari.
- Derivata seconda: \(f''(x)\) - ordine pari.
- Derivata terza: \(f'''(x)\) - ordine dispari.
- Derivata quarta: \(f^{(4)}(x)\) - ordine pari.
Questa classificazione riguarda esclusivamente il numero di derivazioni effettuate e non il segno o il valore della derivata.
Esempio di derivate pari e dispari
Considero la funzione polinomiale
\[ f(x)=x^4 \]
Calcolo le sue derivate successive.
La derivata prima è
\[ f'(x)=4x^3 \]
È una derivata di ordine dispari, perché è stata eseguita una sola derivazione.
Derivando nuovamente la funzione, ottengo la derivata seconda.
\[ f''(x)=12x^2 \]
Questa è una derivata di ordine pari, perché sono state eseguite due derivazioni successive.
Procedendo allo stesso modo, calcolo la derivata terza.
\[ f'''(x)=24x \]
Infine, la derivata quarta è
\[ f^{(4)}(x)=24 \]
Pertanto, la derivata prima e la terza sono di ordine dispari, mentre la seconda e la quarta sono di ordine pari.
Nota. In questo esempio la derivata quarta è una costante. Derivandola ulteriormente si ottiene zero. Tutte le derivate successive alla quarta sono quindi nulle.
A cosa serve distinguere le derivate pari e dispari?
La distinzione tra derivate di ordine pari e dispari è particolarmente utile nello studio dei punti stazionari di una funzione, ossia dei punti in cui la derivata prima si annulla.
Un punto stazionario può essere un punto di massimo locale, un punto di minimo locale oppure un punto che non è né un massimo né un minimo.
In alcuni casi, per riconoscere la natura del punto, è sufficiente calcolare la derivata seconda. In altri casi, invece, è necessario considerare le derivate di ordine superiore.
Come capire se il punto stazionario è un minimo, un massimo o un flesso?
Supponiamo che in un punto \(x_0\) la derivata prima sia nulla.
\[ f'(x_0)=0 \]
Per stabilire se il punto è un massimo, un minimo oppure un flesso, possiamo esaminare le derivate successive.
- Se la derivata seconda nel punto \( x_0 \) è diversa da zero, il suo segno permette di distinguere un massimo da un minimo locale.
- Se invece anche la derivata seconda nel punto \( x_0 \) è nulla, calcolo la derivata terza e, se necessario, quelle di ordine superiore, fino a trovare la prima derivata che non si annulla nel punto \( x_0 \).
L'ordine e il segno di questa derivata permettono di determinare la natura del punto, purché la funzione sia sufficientemente derivabile in un intorno di \(x_0\).
Si possono verificare due casi.
1] La prima derivata non nulla è di ordine pari
Se la prima derivata non nulla ha ordine pari (es. derivata seconda, derivata quarta, ecc.), il punto è un estremo locale ossia un minimo o un massimo. In particolare:
- Se la derivata è positiva, il punto è un minimo locale.
- Se la derivata è negativa, il punto è un massimo locale.
2] La prima derivata non nulla è di ordine dispari
Se la prima derivata non nulla ha ordine dispari superiore al primo (es. derivata terza, derivata quinta, ecc.), il punto non è né un massimo né un minimo locale.
In questo caso, il punto è un flesso a tangente orizzontale, perché la funzione attraversa il livello \(f(x_0)\) cambiando il proprio comportamento di concavità.
Esempi pratici
Ecco tre esempi per comprendere meglio come utilizzare questa distinzione.
Esempio 1. Un minimo locale
Considero la funzione
\[ f(x)=x^4 \]
Nel punto \(x=0\), le prime tre derivate si annullano.
\[ f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 \]
La derivata quarta, invece, è positiva.
\[ f^{(4)}(0)=24>0 \]
Poiché la prima derivata non nulla è di ordine pari ed è positiva, il punto \(x=0\) è un minimo locale.
La funzione \(f(x)=x^4\) presenta un minimo nell'origine.
Esempio 2. Un massimo locale
Considero ora la funzione
\[ f(x)=-x^4 \]
Anche in questo caso le prime tre derivate si annullano nell'origine.
La derivata quarta, invece, è negativa.
\[ f^{(4)}(0)=-24<0 \]
Poiché la prima derivata non nulla è di ordine pari ed è negativa, il punto \(x=0\) è un massimo locale.
La funzione \(f(x)=-x^4\) presenta un massimo nell'origine.
Esempio 3. Un flesso a tangente orizzontale
Considero la funzione
\[ f(x)=x^3 \]
Calcolo le prime tre derivate.
\[ f'(x)=3x^2 \] \[ f''(x)=6x \] \[ f'''(x)=6 \]
Nel punto \(x=0\), la derivata prima e la derivata seconda sono nulle.
\[ f'(0)=f''(0)=0 \]
La derivata terza, invece, è positiva.
\[ f'''(0)=6 \]
Poiché la prima derivata non nulla è di ordine dispari, il punto \(x=0\) non è un massimo né un minimo locale.
È un punto di flesso a tangente orizzontale.
La funzione \(f(x)=x^3\) attraversa l'origine con tangente orizzontale.
Perché le derivate pari e dispari hanno comportamenti diversi?
La ragione di questa distinzione è legata alle proprietà delle potenze pari e dispari.
Una potenza pari di un numero reale è sempre non negativa. Ad esempio, \(x^4\) assume valori positivi sia quando \(x\) è positivo sia quando è negativo, e si annulla nell'origine.
Una potenza dispari, invece, conserva il segno della base. Ad esempio, \(x^3\) è negativa per \(x<0\) e positiva per \(x>0\).
Questa differenza si riflette anche nel comportamento locale delle funzioni derivabili.
Quando le derivate di ordine inferiore si annullano, la prima derivata non nulla determina il termine dominante dello sviluppo locale della funzione. Se il suo ordine è pari, il termine mantiene lo stesso segno ai due lati del punto. Se è dispari, cambia segno.
È proprio questa proprietà che permette di distinguere un estremo locale da un flesso a tangente orizzontale.
Differenza tra derivata di ordine pari e funzione pari
È importante non confondere una derivata di ordine pari con una funzione pari. Sono due concetti matematici differenti.
Una derivata è di ordine pari quando il numero di derivazioni effettuate è pari.
Una funzione, invece, è pari quando soddisfa la condizione
\[ f(-x)=f(x) \]
per ogni valore di \(x\) appartenente al suo dominio, che deve essere simmetrico rispetto all'origine.
Esempio
Questa funzione
\[ f(x)=x^3+x \]
è dispari, perché
\[ f(-x)=-f(x) \]
La sua derivata seconda è
\[ f''(x)=6x \]
Si tratta di una derivata di ordine pari, ma la funzione ottenuta è dispari.
Pertanto, la parità dell'ordine di derivazione non determina necessariamente la parità della funzione derivata. Sono proprietà indipendenti, che descrivono aspetti diversi di una funzione matematica.
E così via.
