Limite fondamentale della potenza \( (1+x)^k \)
Il limite fondamentale della funzione potenza afferma che, per ogni esponente reale \( k \), vale \[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k \]
Questo limite esprime il comportamento locale della funzione \( (1+x)^k \) in prossimità di \( x = 0 \) ed equivale alla derivata della funzione nel punto \( x=0 \).
In altre parole, indica che la funzione cresce linearmente con coefficiente \( k \) per valori molto piccoli di \( x \).
La dimostrazione
Devo dimostrare il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k \]
Sapendo che $ e^{\ln u}=u $ Posso riscrivere il termine \( (1+x)^k \) in questa forma equivalente utilizzando l'esponenziale e il logaritmo naturale
$$ (1+x)^k = e^{ \ln ( (1+x)^k ) } $$
Applico le proprietà dei logaritmi
$$ (1+x)^k = e^{ \ln ( (1+x)^k ) } = e^{ k \cdot \ln (1+x)} $$
Quindi, sostituendo $ (1+x)^k = e^{ k \cdot \ln (1+x)} $, il limite iniziale diventa:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{ k \cdot \ln (1+x) } - 1}{x} \]
Ora moltiplico e divido per $ k \ln (1+x) $.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ k \cdot \ln (1+x)} - 1}{x} \cdot \frac{ k \ln(1+x) }{ k \ln(1+x) } \]
Applico la proprietà associativa della moltiplicazione
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ k \cdot \ln (1+x)} - 1}{ k \ln(1+x) } \cdot \frac{ \ln(1+x) }{ x } \cdot k \]
Il primo e il secondo fattore sono limiti notevoli di cui già conosco il risultato
- $ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ k \cdot \ln (1+x)} - 1}{ k \ln(1+x) } = 1 $ perché $ \lim_{x \to 0} \frac{e^u-1}{u} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{ \ln(1+x) }{ x } = 1 $
Quindi, il limite tende a $ k $ per $ x \to 0 $
\[ \lim_{x \to 0} \underbrace{ \frac{e^{ k \cdot \ln (1+x)} - 1}{ k \ln(1+x) } }_{1} \cdot \underbrace{ \frac{ \ln(1+x) }{ x } }_{1} \cdot k = 1 \cdot 1 \cdot k \]
Pertanto anche il limite iniziale tende a $ k $ per $ x \to 0 $
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k \]
Come volevasi dimostrare.
E così via.
