Esercizio studio del limite 22

Devo risolvere il limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} $$

Si tratta di una forma indeterminata 0/0

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = \frac{0}{0} $$

Per uscire dalla forma indeterminata e risolvere il limite posso seguire diverse strade

Soluzione con MacLaurin

Per risolvere il limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} $$

Sostituisco la funzione coseno con il polinomio di MacLaurin del coseno di ordine 2

$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + o[x^2] $$

Dopo la sostituzione il limite diventa

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{( 1 - \frac{x^2}{2!} + o[x^2] )-1}{x} $$

Semplifico

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \frac{x^2}{2 \cdot 1} -1 + o[x^2]}{x} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{x^2}{2} + x^2 \cdot o[1]}{x} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{x}{2} + x \cdot o[1]}{1} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{2} + x \cdot o[1] = 0 $$

Quindi, il limite della funzione è zero.

Nota. Per risolvere il limite avrei potuto usare anche il polinomio di MacLaurin del coseno di ordine 1. $$ \cos(x) = 1 + o[x] $$ Il risultato sarebbe stato lo stesso.

Soluzione con De L'Hopital

Per risolvere il limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} $$

utilizzo il teorema di De L'Hopital

Derivo il numeratore e il denominatore della funzione fratta

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\cos(x)-1]}{D[x]} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ -\sin(x) }{1} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} -\sin(x) = 0 $$

Il limite è uguale a zero.

Soluzione alternativa

Questo limite si può risolvere anche in un altro modo

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} $$

Sapendo che cos(0)=1, il limite precedente è paragonabile al limite di un rapporto incrementale con a=0 e f(x)=cos(a)

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x -a} = f'(x) $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-\cos(0)}{x -0} = f'(x) $$

Quindi il limite coincide con la derivata prima della funzione f(x)=cos(x).

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-\cos(0)}{x -0} = D[ \cos(x) ] $$

La derivata prima della funzione coseno è -sin(x)

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-\cos(0)}{x -0} = -\sin(x) $$

Sapendo che sin(x)=0 per x che tende a zero

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-\cos(0)}{x -0} = 0 $$

Pertanto, il limite della funzione è uguale a 0.

Soluzione con i limiti notevoli

Questo limite si può risolvere anche con i limiti notevoli

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} $$

Moltiplico e divido per x

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} \cdot \frac{x}{x} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2} \cdot x $$

Riscrivo il limite in questa forma algebrica equivalente

$$ \lim_{x \rightarrow 0} (-1) \cdot \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot x $$

$$ -1 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot x $$

Sapendo che [1-cos(x)]/x² è un limite notevole uguale a 1/2

$$ -1 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot x = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0 $$

Il limite è uguale a zero.

E così via.