Come scomporre un polinomio con Ruffini
Cosa dice la regola di Ruffini
Dato un polinomio P(x) e uno zero (radice) x1 del polinomio, la regola di Ruffini permette di calcolare il polinomio quoziente Q(x) tra P(x) e il binomio (x-x1). $$ Q(x) = \frac{P(x)}{(x-x_1)} $$ Pertanto un polinomio P(x) posso riscriverlo come prodotto tra due polinomi $$ P(x) = (x-x_1) \cdot Q(x) $$ Dove Q(x) è un polinomio inferiore di un grado rispetto a P(x)
A cosa serve
Il metodo di Ruffini mi permette di scomporre un'equazione o un polinomio in fattori di grado inferiore e più semplici da risolvere.
E' utile abbassare di un grado un'equazione di grado superiore al secondo del tipo P(x)=0.
Tuttavia, per usare la regola di Ruffini è necessario conoscere almeno una radice dell'equazione.
Come trovare le radici? Se un polinomio P(x) ha coefficienti interi e il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a 1, allora i suoi zeri se esistono sono tutti divisori interi del termine noto.
Un esempio pratico
Ho un polinomio P(x) di terzo grado
$$ x^3+4x^2+5x+2 $$
Attenzione. Gli elementi del polinomio devono essere ordinati per grado decrescente da destra verso sinistra. Quindi prima gli elementi con esponente più alto. Poi via via gli altri.
Devo cercare un polinomio divisore nella forma (x-a).
Dove a può essere un numero positivo o negativo.
$$ (x-a) $$
Per trovarlo cerco una radice del polinomio, ossia un numero in grado di azzerare il polinomio P(x).
$$ (x+1) \\ (x-1) \\ (x+2) \\ (x-2) \\ (x+3) \\ (x-3) \\ \vdots $$
Provo con a=1, lo sostituisco all'incognita x del polinomio ma non è una radice
$$ P(1)= (1)^3+4(1)^2+5(1)+2 = 12 $$
Provo con a=-1 e trovo una radice
$$ P(-1)= (-1)^3+4(-1)^2+5(-1)+2 = 0 $$
Nota. Nel polinomio x3+4x2+5x+2 il coefficiente del termine di grado maggiore (x3) è uguale a 1. Quindi, senza cercare a caso, posso cercare le radici tra i divisori del termine noto (2) che in questo caso sono +1,-1,+2,-2. Tra questi c'è anche -1.
Quindi, sapendo che a=-1 è una radice il divisore del polinomio è
$$ (x-a) $$
$$ (x-(-1)) $$
ossia
$$ (x+1) $$
A questo punto devo dividere il polinomio per il divisore che ho appena trovato.
$$ \frac{x^3+4x^2+5x+2}{(x+1)} = Q(x) $$
Per farlo uso il metodo di Ruffini.
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array} $$
Come funziona la divisione di Ruffini. Scrivo i coefficienti del polinomio x3+4x2+5x+2 da dividere nella tabella, ossia (1)x3+(4)x2+(5)x+(2). $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ Poi inserisco il fattore a=-1 nella colonna di sinistra. E' l'opposto del termine noto del polinomio divisore (x+1). $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ Faccio scendere il primo coefficiente del polinomio nell'ultima riga del risultato. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} $$ Poi lo moltiplico per a=-1 e scrivo il risultato (-1)·(1)=-1 nella riga precedente alla seconda colonna $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} $$ Sommo i valori nella seconda colonna 4-1 e scrivo il risultato 3 nell'ultima riga. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & & \\ \hline & 1 & 3 & & \end{array} $$ Ora moltiplico 3 per a=-1 e scrivo il risultato nella seconda riga alla terza colonna. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & \\ \hline & 1 & 3 & & \end{array} $$ Sommo i valori nella terza colonna 5-3 e scrivo il risultato 2 nell'ultima riga. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & \end{array} $$ Moltiplico 2 per a=-1 e scrivo il risultato nella riga precedente alla quarta colonna (resto). $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & \end{array} $$ Sommo i termini dell'ultima colonna. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array} $$ Se tutto è andato bene, l'ultima colonna ha somma zero. Il risultato 1,3,2 sono i coefficienti del polinomio quoziente di grado inferiore (1)x2+(3)x+(2) ossia x2+3x+2.
Ho così trovato il polinomio quoziente Q(x).
$$ x^2+3x+2 $$
Quindi il risultato della divisione è
$$ \frac{x^3+4x^2+5x+2}{(x+1)} = x^2+3x+2 $$
che posso riscrivere in questa forma
$$ x^3+4x^2+5x+2 = (x^2+3x+2)(x+1) $$
Nota. La scomposizione del polinomio è uguale al quoziente moltiplicato per il divisore. $$ P(x) = Q(x) \cdot (x-a) $$
Ho così trovato la scomposizione del polinomio in fattori più semplici.
$$ (x^2+3x+2)(x+1) $$
A questo punto posso calcolare le radici di ciascun fattore in modo più rapido e semplice.
Per quanto riguarda (x+1) la radice è -1
$$ x=-1 $$
Per quanto riguarda (x^2+3x+2) le radici sono -1 e -2
$$ \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} = \begin{cases} x=-1 \\ x=-2 \end{cases} $$
Quindi, le radici del polinomio x3+4x2+5x+2 sono -1,-1,-2.
Come trovare le radici del polinomio
Dato polinomio di grado n
$$ P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_0 x^0 $$
per cercare le radici (zeri) del polinomio posso utilizzare due algoritmi a seconda se il coefficiente del termine di grado maggiore è uguale a uno oppure no.
- Il coefficiente del termine di grado maggiore è uguale a uno ( an=1 )
Se il coefficiente del termine di grado maggiore del polinomio P(x) è uguale a 1, allora se un numero intero annulla il polinomio posso cercarlo tra i divisori del termine noto (a0).Esempio. In questo polinomio il coefficiente di grado maggiore (x3) è uguale a uno. $$ P(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2 $$ Pertanto, gli zeri del polinomio se esistono sono divisori del termine noto a0=2. $$ S = \{ 1,-1,2,-2 \} $$ Verifico quali di questi è uno zero del polinomio. $$ P(1)=1^3+4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + 2 = 1+4+5+2=12 $$ $$ P(-1)=(-1)^3+4 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) + 2 = -1+4-5+2= 0 $$ Ho trovato una radice del polinomio x=-1.
Attenzione. Questo metodo mi permette di trovare solo gli zeri interi ossia gli zeri nei numeri interi. L'algoritmo non trova gli zeri se un polinomio si annulla per numeri non interi. Ad esempio, il polinomio $$ P(x) = x^2 - 4x + 2 $$ ha gli zeri non interi in x1=2+√2 e x2=2-√2. In questo caso l'algoritmo non trova gli zeri perché gli zeri non sono dei numeri interi. I divisori del termine noto (2) sono {1,-1,2,-2} e nessuno di questi è uno zero del polinomio P(x).
- Il coefficiente del termine di grado maggiore è diverso da uno ( an≠1 )
Se una frazione N/D ridotta ai minimi termini è uno zero razionale di un polinomio P(x) a coefficienti interi $$ P(\frac{N}{D})=0 $$ allora il numeratore N è un divisore intero del termine noto e il denominatore D è un divisore intero del coefficiente di grado massimo. $$ x = \frac{\text{divisori del termine noto}}{\text{divisori del coefficiente di grado massimo}} $$
Esempio. In questo polinomio il coefficiente di grado maggiore (3x4) è uguale a tre (3). $$ P(x) = 3x^4 + 4x^2 + 5x - 2 $$ I divisori del coefficiente di grado maggiore sono {1,-1,3,-3}. Il termine noto è meno due (-2). Quindi, i divisori del termine noto sono {1,-1,2,-2}. Pertanto, se una frazione P/D è uno zero razionale del polinomio, allora gli eventuali zeri del polinomio se esistono sono compresi nelle combinazioni di frazione $$ \frac{\{ 1,-1,2,-2 \}}{\{ 1,-1,3,-3 \}} $$ ossia $$ S = \{ \frac{1}{1} , \frac{1}{-1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{-3}, \frac{-1}{1} , \frac{-1}{-1}, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{-3}, \frac{2}{1} , \frac{2}{-1}, \frac{2}{3}, \frac{2}{-3}, \frac{-2}{1} , \frac{-2}{-1}, \frac{-2}{3} , \frac{-2}{-3} \} $$ $$ S = \{ 1 , -1, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, 2 , -2, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \} $$ Verifico quale di questi è una radice del polinomio $$ P(1) = 3 \cdot (1)^4 + 4 \cdot (1)^2 + 5 \cdot (1) - 2 = 10 $$ $$ P(-1) = 3 \cdot (-1)^4 + 4 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 2 = 0 $$ Ho trovato una radice del polinomio. Ora posso usare la regola di Ruffini per trovare le altre radici.
Attenzione. Questo metodo mi permette di trovare solo gli zeri razionali ossia gli zeri nei numeri razionali. L'algoritmo non trova gli zeri se un polinomio si annulla per numeri irrazionali. Ad esempio, il polinomio $$ P(x) = x^2 - 4x + 2 $$ ha gli zeri non razionali in x1=2+√2 e x2=2-√2. In questo caso l'algoritmo non trova gli zeri perché gli zeri non sono dei numeri razionali. I divisori del termine noto (2) sono {1,-1,2,-2} e quelli del coefficiente di grado massimo sono {1,-1}. Considerando tutte le loro combinazioni {1,-1,2,-2} nessuna di queste è uno zero razionale del polinomio P(x).
La dimostrazione
Secondo la regola di Ruffini un polinomio P(x) è divisibile per (x-k) se k è uno zero del polinomio, in quanto la divisione è uquale a un polinomio quoziente Q(x) e non ha un resto (R=0)
$$ \frac{P(x)}{(x-k)} = Q(x) \ \ \ \text{con resto R=0} $$
Da questo assunto deriva l'uguaglianza tra il polinomio P(x) e il prodotto tra i polinomi (x-k)·Q(x)
$$ P(x) = (x-k) \cdot Q(x) $$
Quindi, per dimostrare la regola di Ruffini devo dimostrare che qualsiasi polinomio sia sempre divisibile per (x-k) se k è una radice del polinomio.
Perché un polinomio è divisibile per (x-k) se k è uno zero del polinomio?
La divisione tra due polinomi restituisce come risultato un polinomio quoziente Q(x) e un resto R
$$ \frac{P(x)}{(x-k)} = Q(x) + R $$
Un polinomio P(x) è detto "divisibile" per un altro polinomio divisore se e solo se il resto della divisione è zero (R=0). In questo caso il polinomio divisore è (x-k).
Considero per ipotesi che k sia uno zero del polinomio P(x), quindi P(k) = 0.
$$ P(k)=0 $$
Secondo il teorema del resto il resto di una divisione tra polinomi P(x)/(x-k) è sempre uguale al valore P(k) assunto dal polinomio quando x=k, dove k è il termine noto del polinomio divisore (x-k).
$$ R = P(k) $$
In questo caso k è uno zero del polinomio, quindi P(k)=0
Sostituisco P(k)=0 nella precedente equazione
$$ R = P(k) $$
$$ R = 0 $$
Quindi, il resto della divisione è uguale a zero (R=0).
Ne consegue che il polinomio P(x) è sempre divisibile per (x-k) quando k è uno zero del polinomio.
E questo dimostra la regola di Ruffini
$$ P(x) = (x-k) \cdot Q(x) $$
E così via.
