Come scomporre un polinomio con Ruffini

Cosa dice la regola di Ruffini

Dato un polinomio P(x) e uno zero (radice) x1 del polinomio, la regola di Ruffini permette di calcolare il polinomio quoziente Q(x) tra P(x) e il binomio (x-x1). $$ Q(x) = \frac{P(x)}{(x-x_1)} $$ Pertanto un polinomio P(x) posso riscriverlo come prodotto tra due polinomi $$ P(x) = (x-x_1) \cdot Q(x) $$ Dove Q(x) è un polinomio inferiore di un grado rispetto a P(x)

A cosa serve

Il metodo di Ruffini mi permette di scomporre un'equazione o un polinomio in fattori di grado inferiore e più semplici da risolvere.

E' utile abbassare di un grado un'equazione di grado superiore al secondo del tipo P(x)=0.

Tuttavia, per usare la regola di Ruffini è necessario conoscere almeno una radice dell'equazione.

Come trovare le radici? Se un polinomio P(x) ha coefficienti interi e il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a 1, allora i suoi zeri se esistono sono tutti divisori interi del termine noto.

Un esempio pratico

Ho un polinomio P(x) di terzo grado

$$ x^3+4x^2+5x+2 $$

Attenzione. Gli elementi del polinomio devono essere ordinati per grado decrescente da destra verso sinistra. Quindi prima gli elementi con esponente più alto. Poi via via gli altri.

Devo cercare un polinomio divisore nella forma (x-a).

Dove a può essere un numero positivo o negativo.

$$ (x-a) $$

Per trovarlo cerco una radice del polinomio, ossia un numero in grado di azzerare il polinomio P(x).

$$ (x+1) \\ (x-1) \\ (x+2) \\ (x-2) \\ (x+3) \\ (x-3) \\ \vdots $$

Provo con a=1, lo sostituisco all'incognita x del polinomio ma non è una radice

$$ P(1)= (1)^3+4(1)^2+5(1)+2 = 12 $$

Provo con a=-1 e trovo una radice

$$ P(-1)= (-1)^3+4(-1)^2+5(-1)+2 = 0 $$

Nota. Nel polinomio x3+4x2+5x+2 il coefficiente del termine di grado maggiore (x3) è uguale a 1. Quindi, senza cercare a caso, posso cercare le radici tra i divisori del termine noto (2) che in questo caso sono +1,-1,+2,-2. Tra questi c'è anche -1.

Quindi, sapendo che a=-1 è una radice il divisore del polinomio è

$$ (x-a) $$

$$ (x-(-1)) $$

ossia

$$ (x+1) $$

A questo punto devo dividere il polinomio per il divisore che ho appena trovato.

$$ \frac{x^3+4x^2+5x+2}{(x+1)} = Q(x) $$

Per farlo uso il metodo di Ruffini.

$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array} $$

Come funziona la divisione di Ruffini. Scrivo i coefficienti del polinomio x3+4x2+5x+2 da dividere nella tabella, ossia (1)x3+(4)x2+(5)x+(2). $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ Poi inserisco il fattore a=-1 nella colonna di sinistra. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ Faccio scendere il primo coefficiente del polinomio nell'ultima riga del risultato. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} $$ Poi lo moltiplico per a=-1 e scrivo il risultato (-1)·(1)=-1 nella riga precedente alla seconda colonna $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} $$ Sommo i valori nella seconda colonna 4-1 e scrivo il risultato 3 nell'ultima riga. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & & \\ \hline & 1 & 3 & & \end{array} $$ Ora moltiplico 3 per a=-1 e scrivo il risultato nella seconda riga alla terza colonna. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & \\ \hline & 1 & 3 & & \end{array} $$ Sommo i valori nella terza colonna 5-3 e scrivo il risultato 2 nell'ultima riga. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & \end{array} $$ Moltiplico 2 per a=-1 e scrivo il risultato nella riga precedente alla quarta colonna (resto). $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & \end{array} $$ Sommo i termini dell'ultima colonna. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 4 & 5 & 2 \\ -1 & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array} $$ Se tutto è andato bene, l'ultima colonna ha somma zero. Il risultato 1,3,2 sono i coefficienti del polinomio quoziente di grado inferiore (1)x2+(3)x+(2) ossia x2+3x+2.

Ho così trovato il polinomio quoziente Q(x).

$$ x^2+3x+2 $$

Quindi il risultato della divisione è

$$ \frac{x^3+4x^2+5x+2}{(x+1)} = x^2+3x+2 $$

che posso riscrivere in questa forma

$$ x^3+4x^2+5x+2 = (x^2+3x+2)(x+1) $$

Nota. La scomposizione del polinomio è uguale al quoziente moltiplicato per il divisore. $$ P(x) = Q(x) \cdot (x-a) $$

Ho così trovato la scomposizione del polinomio in fattori più semplici.

$$ (x^2+3x+2)(x+1) $$

A questo punto posso calcolare le radici di ciascun fattore in modo più rapido e semplice.

Per quanto riguarda (x+1) la radice è -1

$$ x=-1 $$

Per quanto riguarda (x^2+3x+2) le radici sono -1 e -2

$$ \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} = \begin{cases} x=-1 \\ x=-2 \end{cases} $$

Quindi, le radici del polinomio x3+4x2+5x+2 sono -1,-1,-2.

Come trovare le radici del polinomio

Dato polinomio di grado n

$$ P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_0 x^0 $$

per cercare le radici (zeri) del polinomio posso utilizzare due algoritmi a seconda se il coefficiente del termine di grado maggiore è uguale a uno oppure no.

  • Il coefficiente del termine di grado maggiore è uguale a uno ( an=1 )
    Se il coefficiente del termine di grado maggiore del polinomio P(x) è uguale a 1, allora i suoi zeri se esistono posso cercarli tra i divisori del termine noto (a0).

    Esempio. In questo polinomio il coefficiente di grado maggiore (x3) è uguale a uno. $$ P(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2 $$ Pertanto, gli zeri del polinomio se esistono sono divisori del termine noto a0=2. $$ S = \{ 1,-1,2,-2 \} $$ Verifico quali di questi è uno zero del polinomio. $$ P(1)=1^3+4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + 2 = 1+4+5+2=12 $$ $$ P(-1)=(-1)^3+4 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) + 2 = -1+4-5+2= 0 $$ Ho trovato una radice del polinomie x=-1.

  • Il coefficiente del termine di grado maggiore è diverso da uno ( an≠1 )
    Se una frazione N/D ridotta ai minimi termini è uno zero razionale di un polinomio P(x) a coefficienti interi $$ P(\frac{N}{D})=0 $$ allora il numeratore N è un divisore intero del termine noto e il denominatore D è un divisore intero del coefficiente di grado massimo. $$ x = \frac{\text{divisori del termine noto}}{\text{divisori del coefficiente di grado massimo}} $$

    Esempio. In questo polinomio il coefficiente di grado maggiore (3x4) è uguale a tre (3). $$ P(x) = 3x^4 + 4x^2 + 5x - 2 $$ I divisori del coefficiente di grado maggiore sono {1,-1,3,-3}. Il termine noto è meno due (-2). Quindi, i divisori del termine noto sono {1,-1,2,-2}. Pertanto, se una frazione P/D è uno zero razionale del polinomio, allora gli eventuali zeri del polinomio se esistono sono compresi nelle combinazioni di frazione $$ \frac{\{ 1,-1,2,-2 \}}{\{ 1,-1,3,-3 \}} $$ ossia $$ S = \{ \frac{1}{1} , \frac{1}{-1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{-3}, \frac{-1}{1} , \frac{-1}{-1}, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{-3}, \frac{2}{1} , \frac{2}{-1}, \frac{2}{3}, \frac{2}{-3}, \frac{-2}{1} , \frac{-2}{-1}, \frac{-2}{3} , \frac{-2}{-3} \} $$ $$ S = \{ 1 , -1, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, 2 , -2, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \} $$ Verifico quale di questi è una radice del polinomio $$ P(1) = 3 \cdot (1)^4 + 4 \cdot (1)^2 + 5 \cdot (1) - 2 = 10 $$ $$ P(-1) = 3 \cdot (-1)^4 + 4 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 2 = 0 $$ Ho trovato una radice del polinomio. Ora posso usare la regola di Ruffini per trovare le altre radici.

E così via.

 


 

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