La funzione trigonometrica coseno
Nella circonferenza goniometrica la funzione trigonometrica coseno associa l'ampiezza di un angolo α a un segmento sull'asse orizzontale. Si indica con cos(α) e può assumere un valore compreso tra -1 e +1.
L'angolo α individua un punto P sulla circonferenza goniometrica.
La proiezione del punto P sull'asse orizzontale determina la lunghezza del segmento OA detto coseno di α.
Nota. Il coseno può essere misurato in modo equivalente sia con il segmento OA che con il segmento BP $$ \overline{OA} = \overline{BP} $$
In generale, il coseno di un angolo α è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo.
La lunghezza massima del segmento è uguale al raggio della circonferenza goniometrica.
Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio unitario (r=1) ne consegue che la funzione coseno assume valori compresi tra 1 e -1.
Pertanto, il codominio della funzione coseno è [-1;1].
$$ -1 \le \cos \alpha \le 1 $$
Ecco alcuni angoli importanti della funzione coseno
| angolo (gradi) | angolo (radianti) | coseno |
|---|---|---|
| $$ 0° $$ | $$ 0 $$ | $$ 1 $$ |
| $$ 15° $$ | $$ \frac{\pi}{12} $$ | $$ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$ |
| $$ 30° $$ | $$ \frac{\pi}{6} $$ | $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ |
| $$ 45° $$ | $$ \frac{\pi}{4} $$ | $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ |
| $$ 60° $$ | $$ \frac{\pi}{3} $$ | $$ \frac{1}{2} $$ |
| $$ 90° $$ | $$ \frac{\pi}{2} $$ | $$ 0 $$ |
| $$ 180° $$ | $$ \pi $$ | $$ -1 $$ |
| $$ 270° $$ | $$ \frac{3 \pi}{2} $$ | $$ 0 $$ |
Il coseno è una funzione periodica di periodo 2π.
Dove 2π indica un giro completo della circonferenza goniometrica ossia un angolo giro (360°).
Nota. Il grafico della funzione coseno è detto cosinusoide. Si costruisce indicando sull'asse x i valori degli angoli e sull'asse y le ordinate della circonferenza goniometrica. Essendo una funzione periodica, è sufficiente indicare gli angoli nell'intervallo [0;2π].
Se a un determinato angolo α aggiungo uno o più angoli giri (2π), individuo lo stesso il punto P sulla circonferenza goniometrica e la funzione soseno restituisce sempre lo stesso valore.
$$ \cos \alpha = \cos ( \alpha + n \cdot 2 \pi ) $$
Ad esempio, le funzioni cos(0) e cos(0+2π) restituiscono il valore uno.
Nota. Da un punto di vista matematico la funzione coseno è una funzione pari perché $$ \cos(- \alpha) = \cos \alpha $$ La spiegazione è evidente se si osserva il coseno sulla circonferenza goniometrica. Un qualsiasi angolo orientato (α) e il suo opposto (-α) hanno la stessa proiezione sull'asse orizzontale delle ascisse (x).
Quindi, la funzione coseno è simmetrica rispetto all'asse y delle ordinate. Ad esempio, il coseno di π è -1 e anche il coseno di -π è -1.
L'origine della parola coseno
Il termine latino "cosinus" venne introdotto dal matematico e astronomo inglese Edmund Gunter nel XVII secolo.
L'introduzione della parola coseno è molto più recente rispetto al termine seno.
L'esistenza del coseno era nota anche agli arabi e ai greci ma non definirono mai un termine preciso per indicarlo.
E così via.
