Esercizio studio del limite 21

Devo studiare il limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} $$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{0}{0} $$

Può essere risolto in vari modi

Soluzione con MacLaurin

Si tratta di limite per x che tende a zero.

Quindi, per risolvere il limite posso usare la formula di MacLaurin

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} $$

Sostituisco la funzione trascendente del coseno con un polinomio di ordine 2 tramite la formula di MacLaurin

$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o[x^2] $$

Scelgo la formula di ordine 2 per semplificare il polinomio di secondo grado che si trova al denominatore della funzione

Sostituisco la funzione trascendente con il polinomio 1-x²/2+o[x²]

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1- \frac{x^2}{2}+o[x^2])}{x^2} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1 + \frac{x^2}{2} - o[x^2]}{x^2} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2} - x^2 \cdot o[1]}{x^2} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \cdot ( \frac{1}{2} - o[1])}{x^2} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} - o[1]}{1} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} - o[1] = \frac{1}{2} $$

Quindi il limite è uguale a 1/2.

Soluzione con De L'Hopital

Per risolvere il limite posso anche usare il teorema di De L'Hopital

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} $$

Derivo il numeratore e il denominatore

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[1 - \cos(x)]}{D[x^2]} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)]}{2x} = \frac{0}{0} $$

E' ancora una forma indeterminata.

Quindi reitero il teorema di De L'Hopital

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\sin(x)]}{D[2x]} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{1}{2} $$

Quindi, il limite della funzione è 1/2

Soluzione con la trigonometria

Per risolvere questo limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} $$

Uso la formula di duplicazione del coseno

$$ \cos 2a = 1-2 \sin^2 a $$

In questo caso x=2a, quindi a=x/2

$$ \cos x = 1-2 \sin^2 \frac{x}{2} $$

Sostituisco il coseno nel limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - [ 1-2 \sin^2 \frac{x}{2} ] }{x^2} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1 + 2 \sin^2 \frac{x}{2} }{x^2} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2} }{x^2} $$

$$ 2 \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{x} )^2 $$

Per applicare il limite notevole sin(a)/a = 1 moltiplico e divido per 2 il denominatore

$$ 2 \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{x \cdot \frac{2}{2}} )^2 $$

$$ 2 \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{2 \cdot \frac{x}{2}} )^2 $$

$$ 2 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4} \cdot ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2}} )^2 $$

$$ 2 \cdot \frac{1}{4} \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2}} )^2 $$

$$ \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2}} )^2 $$

Sapendo che il limite notevole sin(a)/a = 1 con a=x/2

$$ \frac{1}{2} \cdot 1 $$

Quindi il limite della funzione è 1/2

E così via.