Esercizio studio del limite 10
In questo esercizio devo calcolare il limite per x che tende a 0 della funzione
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}-\sqrt{4+x^2}} $$
Il punto x=0 è un punto di accumulazione appartenente al dominio della funzione.
Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}-\sqrt{4+x^2}} = \frac{0}{0} $$
Rimuovo la forma indeterminata razionalizzando il denominatore
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}-\sqrt{4+x^2}} \cdot \frac{2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{(3-\sqrt{9-x^2}) \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) }{2 \sqrt{1+x^2} \cdot 2 \sqrt{1+x^2} -\sqrt{4+x^2} \cdot \sqrt{4+x^2}} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{(3-\sqrt{9-x^2}) \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) }{4 (1+x^2) -(4-x^2)} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{(3-\sqrt{9-x^2}) \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) }{4+4x^2 -4-x^2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{(3-\sqrt{9-x^2}) \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) }{3x^2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) $$
Il secondo limite tende a 4
$$ [ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} ] \cdot 4 $$
$$ 4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} $$
L'altro limite è ancora una forma indeterminata 0/0
A questo punto razionalizzo il numeratore
$$ 4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} \cdot \frac{3+\sqrt{9-x^2}}{3+\sqrt{9-x^2}} $$
$$ 4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3 \cdot 3 + 3\sqrt{9-x^2} - 3\sqrt{9-x^2} -\sqrt{9-x^2}\sqrt{9-x^2} }{3x^2 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})} $$
$$ 4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{9 -(9-x^2) }{3x^2 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})} $$
$$ 4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{9 - 9+x^2 }{3x^2 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})} $$
$$ 4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{x^2 }{3x^2 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})} $$
Elimino x2 al numeratore e al denominatore
$$ 4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1 }{3 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})} $$
Ora anche l'altro limite è calcolabile
$$ 4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1 }{3 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})} = 4 \cdot \frac{1}{18} = \frac{2}{9} $$
Pertanto, il limite della funzione è 2/9.
E così via.
