Esercizi svolti sullo studio del limite

Un elenco di esercizi svolti sullo studio del limite di una funzione.

Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-3x}{x-3}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x-4}-2}{3x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3-x^2+4x}{x^5-x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{4x^2+x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x-4}-x$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x -10}{x^2-25}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow +\infty} x+2-\sqrt{x^2+4x+8}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{3x^2+x-10}{x^2-5x-14}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{x^3-x^2-x-2}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{3-\sqrt{8-x^3}}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x-1}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2+5} - \sqrt{x^3+1}}{2x-x^2}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}-\sqrt{4+x^2}}$$
Esercizio	$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin x^4}{x^2 \log (1+x^3)}$$
Esercizio	$$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}$$

Esercizio 1

Devo calcolare il limite per x che tende 3 della funzione fratta

$$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-3x}{x-3}$$

Il dominio della funzione è (-∞, 3)∪(3,+∞).

Il punto x₀=3 non appartiene al dominio della funzione ma è un punto di accumulazione della funzione. Quindi posso calcolare il limite.

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-3x}{x-3} = \frac{0}{0}$$

Per uscire dalla forma indeterminata fattorizzo il numeratore mettendo in evidenza la x

$$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x \cdot (x-3)}{x-3}$$

In questo modo posso semplificare ed eliminare (x-3) sia al numeratore che al denominatore.

$$\lim_{x \rightarrow 3} x$$

Ora il limite è calcolabile ed è pari a 3

$$\lim_{x \rightarrow 3} x = 3$$

Esercizio 2

Devo studiare il limite per x che tende a due della funzione fratta

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}$$

Il dominio della funzione è (-∞,2)∪(2,∞)

Il punto x=2 è un punto di accumulazione della funzione. Quindi, posso calcolare il limite.

Il limite per x→2 è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{0}{0}$$

Per uscire dalla forma indeterminata, scompongo il numeratore nel prodotto di due binomi.

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x-2) \cdot (x+2)}{x-2}$$

Poi semplifico x-2 al numeratore e al denominotore.

$$\lim_{x \rightarrow 2} (x+2)$$

In questa forma equivalente il limite è facilmente calcolabile

$$\lim_{x \rightarrow 2} (x+2) = 4$$

Il limite per x→2 converge al numero finito 4.

Esercizio 3

Devo studiare il limite per x che tende a zero di questa funzione

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x}$$

Per prima cosa trovo il dominio della funzione.

La funzione è definita nell'intervallo

$$D_f = [-4,0) \ \cup \ (0, +\infty)$$

Poi verifico se il limite ha una soluzione immediata per x→0.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x} = \frac{0}{0}$$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0. Quindi, non ha una soluzione immediata.

Per evitare la forma indeterminata trasformo il limite in una forma equivalente.

Moltiplico e divido la funzione per il numeratore cambiando il segno da meno a più.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}$$

In questo modo il numeratore si semplifica

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}\sqrt{x+4}+2\sqrt{x+4}-2\sqrt{x+4}-4}{3x(\sqrt{x+4}+2)}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+4)-4}{3x(\sqrt{x+4}+2)}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{3x(\sqrt{x+4}+2)}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3(\sqrt{x+4}+2)}$$

Ora posso calcolare il limite nella forma equivalente evitando la forma indeterminata.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{12}$$

Il limite della funzione per x che tende a zero è 1/12.

Nota. Per risolvere la forma indeterminata 0/0 posso usare anche il teorema di L'Hopital derivando separatamente sia il numeratore che il denominatore della funzione fratta. $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x} = \frac{0}{0}$$ $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\sqrt{x+4}-2]}{D[3x]}$$ $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x+4}}}{3} = \frac{ \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4}}}{3} = \frac{ \frac{1}{4}}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$$ Il risultato finale è lo stesso.

Esercizio 4

Devo studiare il limite per x che tende a zero della funzione

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x-4}-2}{3x}$$

Per prima cosa analizzo il dominio della funzione.

La funzione è definita nell'intervallo

$$D_f = [4, +\infty)$$

La radice quadrata è definita solo per maggiori o uguali di zero (x-4)≥0.

Quindi la funzione è definita solo per valori x≥4.

E' quindi impossibile studiare il limite della funzione per x→0 perché nell'intorno di zero la funzione non è definita.

Lo studio del dominio mi ha permesso di giungere facilmente alla soluzione senza dover studiare il limite.

Nota. Con questo esercizio banale voglio semplicemente dimostrare l'importanza dello studio del dominio della funzione prima dello studio del limite. Spesso si studia il limite senza considerare il dominio ed è una trascuranza che fa perdere molto tempo in calcoli inutili. A volte la soluzione è immediata.

Esercizio 5

Devo studiare il limite per x→0 della funzione fratta

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3-x^2+4x}{x^5-x}$$

Dove x=0 è un punto di accumulazione non appartenente al dominio della funzione.

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3-x^2+4x}{x^5-x}$$

Per evitare la forma indeterminata, metto in evidenza la x al numeratore e al denominatore.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(x^2-x+4)}{x(x^4-1)}$$

In questo modo posso semplificare eliminando la x sia al numeratore che al denominatore.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x+4}{x^4-1}$$

Ora il limite è calcolabile ed è un numero finito.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x+4}{x^4-1} = \frac{4}{-1} = -4$$

Il limite della funzione fratta per x che tende a zero è -4.

Esercizio 6

In questo esercizio devo risolvere il limite di questa funzione

$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x}$$

Il dominio della funzione è

$$D_f [0, 9) \cup (9, +\infty )$$

Spiegazione. La radice quadrata non può assumere come argomento un numero negativo. Il denominatore della funzione fratta si annulla per x=9. Quindi x=9 non fa parte del dominio della funzione.

Il numero x₀=9 è un punto di accumulazione della funzione.

Quindi, posso procedere col calcolo del limite.

$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} = \frac{0}{0}$$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0.

Cerco di eliminare la forma indeterminata razionalizzando il numeratore.

Moltiplico e divido per il numeratore cambiato di segno 3+√x.

$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} \cdot \frac{3+\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}$$

$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{(3-\sqrt{x}) \cdot (3+\sqrt{x})}{(9-x) \cdot (3+\sqrt{x})}$$

$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{(9+3\sqrt{x}-3\sqrt{x}-(\sqrt{x})^2)}{(9-x) \cdot (3+\sqrt{x})}$$

$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{9-x}{(9-x) \cdot (3+\sqrt{x})}$$

Semplifico eliminando 9-x al numeratore e al denominatore

$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{1}{3+\sqrt{x}}$$

In questo modo ottengo la funzione in una forma equivalente che non presenta la causa della forma indeterminata.

Ora posso calcolare il limite.

$$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{1}{3+\sqrt{x}} = \frac{1}{6}$$

Il limite della funzione per x→9 è 1/6.

Nota. Per eliminare la forma indeterminata 0/0 avrei anche potuto applicare il teorema di L'Hopital. $$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} = \frac{0}{0}$$ Per eliminare la forma indeterminata 0/0 calcolo la derivata del numeratore e del denominatore. $$\lim_{x \rightarrow 9} \frac{D[3-\sqrt{x}]}{D[9-x]} = \lim_{x \rightarrow 9} \frac{ - \frac{1}{2 \sqrt{x}} }{-1} = \lim_{x \rightarrow 9} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{6}$$ La soluzione è la stessa.

Esercizio 7

In questo esercizio studio il limite per x→-∞ della funzione

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{4x^2+x}$$

Questo limite può trarre in inganno

Il primo termine 2x tende a -infinito per x→-∞.

Il radicando 4x²+x sembrerebbe una forma indeterminata del tipo ∞-∞ perché 4x² tende a infinito mentre +x tende a meno infinito.

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{4x^2+x} = -\infty - \sqrt{\infty - \infty}$$

In realtà, per risolvere il problema mi basta riscrivere l'espressione del limite in questa forma equivalente mettendo in evidenza la x nel radicando

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{x^2(4+\frac{1}{x})}$$

In questo modo il termine +1/x tende a zero e il radicando tende a +∞.

In alternativa. In un limite per x che tende a più o meno infinito di un polinomio prevale sempre asintoticamente il termine di grado più alto del polinomio. Tutti gli altri si possono ignorare. In questo caso il limite tende a meno infinito e il radicando è un polinomio di grado 2. Quindi, posso considerare il monomio di grado più alto (4x²) del polinomio e ignorare gli altri (x). $$\lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{4x^2+x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{4x^2} = +\infty$$

In questa forma equivalente il limite iniziale non ha alcuna forma indeterminata ed è facilmente calcolabile.

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{x^2(4+\frac{1}{x})} = -\infty - (+ \infty ) = -\infty - \infty = -\infty$$

Il limite della funzione per x che tende a meno infinito è -∞.

Esercizio 8

In questo esercizio devo risolvere il limite della funzione per x→∞.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x-4}-x$$

Il limite è una forma indeterminata infinito meno infinito ∞-∞

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x-4}-x = \infty - \infty$$

Per risolvere il limite devo eliminare la forma indeterminata.

Moltiplico e divido per la somma dei due termini.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x-4}-x \cdot \frac{\sqrt{x^2+3x-4}+x}{\sqrt{x^2+3x-4}+x}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x-4}-x) \cdot (\sqrt{x^2+3x-4)}+x)}{\sqrt{x^2+3x-4}+x}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ \sqrt{x^2+3x-4}\sqrt{x^2+3x-4}+x\sqrt{x^2+3x-4}-x\sqrt{x^2+3x-4}-x^2}{\sqrt{x^2+3x-4}+x}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ (\sqrt{x^2+3x-4})^2-x^2}{\sqrt{x^2+3x-4}+x}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x^2+3x-4-x^2}{\sqrt{x^2+3x-4}+x}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ 3x-4}{\sqrt{x^2+3x-4}+x}$$

Ora la funzione è una funzione fratta ma si verifica un'altra forma indeterminata del tipo ∞/∞

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ 3x-4}{\sqrt{x^2+3x-4}+x} = \frac{\infty}{\infty}$$

Per uscire da quest'ultima forma indeterminata fattorizzo il numeratore della funzione fratta per x.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x(3-\frac{4}{x})}{\sqrt{x^2+3x-4}+x}$$

Poi fattorizzo il denominatore della funzione fratta per x.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x(3-\frac{4}{x})}{\sqrt{x^2 \cdot (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+x}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x(3-\frac{4}{x})}{x \cdot \sqrt{ (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+x}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x(3-\frac{4}{x})}{x \cdot ( \sqrt{ (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+1)}$$

Quindi elimino la x al numeratore e al denominatore.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ 3-\frac{4}{x}}{ \sqrt{ (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+1}$$

In questo modo elimino anche la forma indeterminata ∞/∞.

Ora il limite è calcolabile e converge a un numero finito.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ 3-\frac{4}{x}}{ \sqrt{ (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+1} = \frac{3}{2}$$

Il limite della funzione è 3/2.

Esercizio 9

Devo studiare il limite di questa funzione fratta

$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x -10}{x^2-25}$$

Per prima cosa, individuo il dominio della funzione

$$D_f (-\infty, -5) \cup (-5, 5) \cup (5, +\infty)$$

Nei punti 5 e -5 la funzione non è definita perché si annulla il denominatore.

Il numero x₀=-5 è un punto di accumulazione della funzione.

Quindi, posso procedere col calcolo del limite.

$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x -10}{x^2-25} = \frac{0}{0}$$

Il limite della funzione è la forma indeterminata del tipo 0/0.

Riscrivo la funzione in una forma equivalente per evitare la forma indeterminata.

Scompongo il numeratore con il metodo di Ruffini.

$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x -10}{x^2-25}$$

$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{(x-2) \cdot (x+5)}{x^2-25}$$

Il denominatore è una differenza di quadrati (a²-b²)=(a-b)(a+b)

$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{(x-2) \cdot (x+5)}{x^2-5^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{(x-2) \cdot (x+5)}{(x-5) \cdot (x+5)}$$

Semplifico togliendo (x+5) al numeratore e al denominatore

$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{x-2}{x-5}$$

Infine, calcolo il limite per x che tende a -5

$$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{x-2}{x-5} = \frac{-7}{-10} = \frac{7}{10}$$

Ho evitato la forma indeterminata 0/0

Il limite della funzione è 7/10.

Nota. Essendo una forma indeterminata 0/0 avrei potuto risolvere il limite anche con il teorema di L'Hopital. $$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2-25} = \frac{0}{0}$$ $$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{D[x^2 + 3x - 10]}{D[x^2-25]}$$ $$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{2x+3}{2x} = \frac{-7}{-10} = \frac{7}{10}$$ Il risultato è lo stesso.

Esercizio 10

In questo esercizio devo studiare il limite della funzione

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x}$$

Il dominio della funzione è

$$D_f = (-1,0) \cup (0, +\infty)$$

Il punto x=0 è un punto di accumulazione della funzione. Quindi posso procedere con lo studio del limite.

Il limite è una forma indeterminata 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} = \frac{0}{0}$$

Per risolvere il limite devo eliminare la forma indeterminata 0/0.

Esistono diverse strade per risolvere il limite.

Ad esempio, moltiplico e divido la funzione per 2.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} \cdot \frac{2}{2}$$

Per la regola del prodotto del logaritmo a·log(b)=log(b^a)

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot \log \sqrt{x+1}}{x} \cdot \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log (\sqrt{x+1})^2 }{x} \cdot \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log (x+1) }{x} \cdot \frac{1}{2}$$

Il termine 1/2 è una costante e può uscire dal limite

$$\frac{1}{2} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log (x+1) }{x}$$

In questo modo ho ricondotto il limite al limite notevole log(x+1)/x = 1

$$\frac{1}{2} \cdot 1$$

$$\frac{1}{2}$$

Pertanto, il limite è 1/2

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} = \frac{1}{2}$$

Nota. Essendo una forma indeterminata 0/0 potevo risolvere il limite anche con il teorema di L'Hopital. $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\log \sqrt{x+1}]}{D[x]}$$ Al denominatore c'è una semplice derivata D[x]=1. $$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\log \sqrt{x+1}]}{1}$$ $$= \lim_{x \rightarrow 0} D[\log \sqrt{x+1}]$$ Al numeratore c'è la derivata di una funzione composta. Quindi calcolo la derivata del logaritmo per la derivata del suo argomento ossia la derivata della radice quadrata $$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$ $$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+1} }$$ $$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 (x+1) }$$ $$= \frac{1}{2}$$

Metodo alternativo

Per risolvere il limite posso seguire anche un'altra strada.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x}$$

E' un po' più lunga e complessa ma è utile per esercitarsi.

Cerco di ricondurla al limite notevole log(x+1)/x.

Sommo e sottraggo 1 nell'argomento del logaritmo.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1-1 + \sqrt{x+1}]}{x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1 + ( \sqrt{x+1} - 1)]}{x}$$

Ora moltiplico e divido per √(x+1)-1

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1 + ( \sqrt{x+1} - 1)]}{x} \cdot \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ \sqrt{x+1} - 1}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1 + ( \sqrt{x+1} - 1)]}{\sqrt{x+1} - 1} \cdot \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x}$$

La prima componente è un limite notevole generalizzato log(1+f)/f = 1

Dove f=√(x+1)-1 è una funzione infinitesima per x→0

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1 + ( \sqrt{x+1} - 1)]}{\sqrt{x+1} - 1} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x}$$

$$1 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x}$$

Ho eliminato il logaritmo ma il limite è ancora una forma indeterminata 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x} = \frac{0}{0}$$

Per uscire dalla forma indeterminata moltiplico e divido per il numeratore trasformando la differenza in somma

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x} \cdot \frac{ \sqrt{x+1} + 1 }{ \sqrt{x+1} + 1}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ (\sqrt{x+1} - 1) \cdot (\sqrt{x+1} + 1) }{ x \cdot (\sqrt{x+1} + 1) }$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} \sqrt{x+1} + \sqrt{x+1} - \sqrt{x+1} -1 }{ x \cdot (\sqrt{x+1} + 1) }$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ x+1 -1 }{ x \cdot (\sqrt{x+1} + 1) }$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ x }{ x \cdot (\sqrt{x+1} + 1) }$$

Semplifico la x al numeratore e denominatore

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \sqrt{x+1} + 1 }$$

Ora il limite per x→0 è calcolabile

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \sqrt{x+1} + 1 } = \frac{1}{2}$$

Il limite della funzione è 1/2.

Nota. Questo dimostra che un limite può essere risolto seguendo varie strade con tecniche diverse. Alcune sono più facili e rapide, altre più complesse e lunghe. Il risultato finale è comunque sempre lo stesso.

Esercizio 11

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} x+2-\sqrt{x^2+4x+8}$$

Il limite è una forma indeterminata del tipo infinito meno infinito ∞-∞

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} x+2-\sqrt{x^2+4x+8} = \infty - \infty$$

Per uscire dalla forma indeterminata moltiplico e divido per la somma dei termini

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} x+2-\sqrt{x^2+4x+8} \cdot \frac{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(x+2-\sqrt{x^2+4x+8}) \cdot (x+2+\sqrt{x^2+4x+8})}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(x+2)^2 -(\sqrt{x^2+4x+8})^2}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(x^2+4x+4) -(x^2+4x+8)}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+4x+4 -x^2-4x-8}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}}$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}}$$

La forma indeterminata è scomparsa.

Ora il limite è calcolabile.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}} = \frac{-4}{\infty + \infty} = \frac{-4}{\infty} = 0$$

Il limite della funzione per x→∞ è zero.

Esercizio 12

Devo studiare il limite per x→-2 della funzione fratta

$$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x^2+x-10}{x^2-5x-14}$$

Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali meno le radici dell'equazione di 2° grado al denominatore x^2-5x-14

$$x= \frac{5 \pm \sqrt{25-4(-14)}}{2}$$

$$x= \frac{5 \pm \sqrt{25+56}}{2}$$

$$x= \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2}$$

$$x= \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2}$$

$$x= \frac{5 \pm 9}{2}$$

$$x = \begin{cases} \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \\ \\ \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \end{cases}$$

Quindi il dominio della funzione è

$$D_f = (-\infty, -2) \cup (-2, 7) \cup (7, \infty)$$

Il punto x=-2 è un punto di accumulazione della funzione.

Quindi, posso procedere con il calcolo del limite.

Il limite è una forma indeterminata 0/0

$$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x^2+x-10}{x^2-5x-14} = \frac{0}{0}$$

Per evitare la forma indeterminata, provo a riscrivere la funzione in una forma equivalente.

Applico il metodo di Ruffini per semplificare il polinomio al numeratore.

$$\begin{array}{c|lcr} & \text{3} & \text{1} & \text{-10} \\ -2 & & -6 & +10 \\ \hline & 3 & -5 & 0 \end{array}$$

Quindi il numeratore posso riscriverlo (x+2)(3x-5)

$$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{(x+2)(3x-5)}{x^2-5x-14}$$

Applico di nuovo il metodo di Ruffini per semplificare il polinomio al denominatore.

$$\begin{array}{c|lcr} & \text{1} & \text{-5} & \text{-14} \\ -2 & & -2 & 14 \\ \hline & 1 & -7 & 0 \end{array}$$

Quindi il numeratore posso riscriverlo (x+2)(x-7)

$$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{(x+2)(3x-5)}{(x+2)(x-7)}$$

Elimino (x+2) al numeratore e al denominatore

$$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x-5}{x-7}$$

Quindi, calcolo il limite per x→-2

$$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x-5}{x-7} = \frac{-11}{-9} = \frac{11}{9}$$

Il limite della funzione è 11/9.

Nota. Essendo una forma indeterminata 0/0 potrei risolvere la forma indeterminata anche usando il teorema di L'Hopital. $$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x^2+x-10}{x^2-5x-14}$$ $$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{D[3x^2+x-10]}{D[x^2-5x-14]}$$ La derivata del polinomio al numeratore è D[3x²+x-10]=6x+1 mentre la derivata del polinomio al denominatore è D[x²-5x-14]=2x-5. $$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{6x+1}{2x-5}$$ Poi calcolo il limite per x→-2. $$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{6x+1}{2x-5} = \frac{-11}{-9} = \frac{11}{9}$$ Il risultato è lo stesso.

Esercizio 13

Devo studiare il limite

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{x^3-x^2-x-2}$$

Riscrivo il denominatore della funzione in una forma equivalente usando il metodo di Ruffini

$$\begin{array}{c|lcr} & \text{1} & \text{-1} & \text{-1} & \text{-2} \\ 2 & & 2 & 2 & 2 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$

Quindi il denominatore diventa

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{(x-2) \cdot (x^2+x+1)}$$

In questa forma è più facile capire il dominio della funzione fratta.

Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali ad eccezione dei punti in cui si annulla il denominatore.

$$D_f = R - \{ 2 \}$$

Il punto x=2 è un punto di accumulazione della funzione.

Quindi, posso procedere con il calcolo del limite.

Il limite è però una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{(x-2) \cdot (x^2+x+1)} = \frac{0}{0}$$

Per uscire dalla forma indeterminata, razionalizzo il denominatore moltiplicando e dividendo per

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{(x-2) \cdot (x^2+x+1)} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2x+9}+3}{\sqrt{x^2-2x+9}+3}$$

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x^2-2x+9)-9}{(x-2) \cdot (x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)}$$

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-2x}{(x-2) \cdot (x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)}$$

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x \cdot (x-2)}{(x-2) \cdot (x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)}$$

Elimino (x-2) al numeratore e al denominatore.

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x}{(x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)}$$

Ora il limite è calcolabile per x→2.

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x}{(x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)} = \frac{2}{(7 \cdot 6)} = \frac{1}{21}$$

Il limite della funzione è 1/21.

Esercizio 14

Devo studiare il limite

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{3-\sqrt{8-x^3}}$$

Il dominio della funzione è

$$D_f = (\infty , -1) \cup (-1,2)$$

Il punto x=-1 è un punto di accumulazione della funzione.

Quindi, posso procedere con il calcolo del limite.

Tuttavia, il limite per x->-1 è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{3-\sqrt{8-x^3}} = \frac{0}{0}$$

Per uscire dalla forma indeterminata, razionalizzo il numeratore

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{3-\sqrt{8-x^3}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2}$$

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (\sqrt{x^2+3}+2)} \cdot \frac{\sqrt{x^12+3}+2}{}$$

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3} \cdot \sqrt{x^2+3} +2 \sqrt{x^2+3} -2\sqrt{x^2+3} -2 \cdot 2}{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (\sqrt{x^2+3}+2)}$$

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2+3)-4}{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (\sqrt{x^2+3}+2)}$$

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-1}{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (\sqrt{x^2+3}+2)}$$

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2+3)-4}{3-\sqrt{8-x^3} } \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}$$

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2+3-4}{3-\sqrt{8-x^3} } \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}$$

Il secondo limite converge a 1/4

$$[ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-1}{3-\sqrt{8-x^3} } ] \cdot \frac{1}{4}$$

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-1}{3-\sqrt{8-x^3} }$$

Ora razionalizzo il denominatore

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-1}{3-\sqrt{8-x^3} } \cdot \frac{3+\sqrt{8-x^3}}{3+\sqrt{8-x^3}}$$

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{(3-\sqrt{8-x^3}) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }$$

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{3 \cdot 3 + 3 \cdot \sqrt{8-x^3} - 3 \cdot \sqrt{8-x^3} - \sqrt{8-x^3} \cdot \sqrt{8-x^3} }$$

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{9 - (8-x^3) }$$

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{9 - 8 +x^3 }$$

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x^2-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{1 +x^3 }$$

Al numeratore c'è una differenza di quadrati (a²-b²)=(a-b)(a+b)

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{1 +x^3 }$$

Al denominatore c'è una somma di cubi (a³+b³)=(a+b)(a²-ab+b²)

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{(x+1) \cdot (1-x+x^2) }$$

Elimino (x+1) al numeratore e al denominatore

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{ (x-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{1-x+x^2 }$$

Ora anche il secondo limite è calcolabile per x→-1

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{ (-2) \cdot (6) }{1-x+x^2 }$$

$$\frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{ (x-1) \cdot (3+\sqrt{8-x^3}) }{1-x+x^2 }$$

$$= \frac{1}{4} \cdot \frac{ (-2) \cdot (6) }{3 }$$

$$= \frac{-12}{12}$$

$$= -1$$

Il limite della funzione è -1

Esercizio 15

Devo studiare il limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}$$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

Si tratta di uno dei più importanti limiti notevoli.

Per risolvere il limite sostituisco la funzione trascendente sin(x) con il polinomio algebrico ottenuto usando la formula di MacLaurin di ordine 1 per x→0

$$\sin(x) = x + o[x^1]$$

Sostituisco sin(x)=x+o[x]

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+o[x]}{x}$$

Per la proprietà degli o piccoli o[x]=x·o[1]

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+ x \cdot o[1]}{x}$$

Metto in evidenza la x e semplifico

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x (1+o[1])}{x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} 1+o[1]$$

$$1 + \lim_{x \rightarrow 0} o[1]$$

La funzione o[1] è una funzione infinitesima ossia prossima a zero per x→0

$$1 + 0$$

Pertanto, il limite della funzione per x→0 è uguale a uno.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$

Esercizio 16

Devo risolvere il limite

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$$

Questo limite somiglia molto al limite notevole

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$

Avevo già visto questo limite almeno cinque volte. In teoria lo conoscevo a memoria:

Eppure ogni volta che lo incontravo in mezzo ad altri passaggi, lo saltavo o sbagliavo. Perché? Perché non lo vedevo. Non lo riconoscevo mascherato in un'altra espressione.

Inoltre, spesso ci si dimentica che il limite notevole può essere esteso al caso generale $$\sin(kx)/kx \to 1$$ solo se al denominatore c’è lo stesso argomento che sta dentro il seno.

Quindi, per risolvere questo esercizio mi basta riscrivere l'espressione in una forma equivalente.

Ad esempio, divido e moltiplico per tre.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{3}{3}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3$$

$$3 \cdot  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}$$

Ora il limite notevole è ben evidente $\sin(kx)/kx \to 1$ dove $k=3$.

$$3 \cdot  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}  = 3 \cdot  1$$

Pertanto, la soluzione è

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3$$

In conclusione, non basta sapere che il limite notevole è $\sin(x)/x \to 1$, bisogna anche riconoscerlo anche quando è camuffato.

Il trucco è di portare sempre il denominatore a somigliare all’argomento del seno, o viceversa.

Esercizio 17

In questo esercizio devo risolvere il limite

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$$

Che tipo di limite è? È una forma indeterminata $\frac{0}{0}$, perché sia il numeratore che il numeratore tendono a zero per $x \to 0$.

Quindi devo risolverlo usando qualche trasformazione.

Ad esempio, posso trasformare la differenza di radicali in una differenza di quadrati, cioè in un’espressione senza radici.

Moltiplico numeratore e denominatore per il coniugato del numeratore:

$$\lim_{x \to 0}   \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1}$$

Ora al numeratore c'è una differenza di quadrati $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$$\lim_{x \to 0}   \frac{( \sqrt{1 + x} )^2 - (1)^2 }{x\sqrt{1 + x} + 1}$$

$$\lim_{x \to 0}  \frac{(1 + x) - 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)}$$

$$\lim_{x \to 0}  \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)}$$

Quindi l'espressione si semplifica:

$$\lim_{x \to 0}  \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}$$

A questo punto il limite si risolve facilmente perché è diventato un caso elementare.

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

Il limite della funzione è 1/2.

Esercizio 18

Devo studiare il limite

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}$$

Questo limite somiglia al limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$

Per ricondurlo a questa forma introduco una variabile temporanea $u = 3x$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{x^2}$$

Quando $x \to 0$ va a zero, anche $u \to 0$, quindi cambio anche la variabile del limite.

$$\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{x^2}$$

Sapendo che $u=3x$ allora $x = \frac{u}{3}$, quindi sostituisco anche la variabile $x$ al denominatore.

$$\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{ (\frac{u}{3}) ^2}$$

$$\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{ \frac{u^2}{9}}$$

$$\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} \cdot 9$$

Faccio uscire la costante 9 dal limite.

$$9 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2}$$

A questo punto posso applicare il limite notevole $\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} = \frac{1}{2}$

$$9 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} = 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$

Quindi, il risultato del limite è il seguente:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} = \frac{9}{2}$$

Esercizio 19

Devo studiare il limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}$$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

Per risolverlo sostituisco la funzione trascendente sin(x) con il polinomio algebrico ottenuto usando la formula di MacLaurin di ordine 3 per x→0

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o[x^3]$$

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3 \cdot 2 \cdot 1} + o[x^3]$$

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o[x^3]$$

Nota. Utilizzo la formula di MacLaurin ordine 3 perché la funzione nel limite ha un polinomio di grado 3 al denominatore.

Sostituisco sin(x)=x-x³/6+o[x³]

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{[x-\frac{x^3}{6}+o[x^3]]-x}{x^3}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^3}{6}+o[x^3]}{x^3}$$

Per la proprietà degli o piccoli o[x³]=x³ ·o[1]

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^3}{6}+x^3 \cdot o[1]}{x^3}$$

Metto in evidenza la x e semplifico

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3 \cdot (-\frac{1}{6}+ o[1])}{x^3}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} -\frac{1}{6}+ o[1]$$

$$-\frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} o[1]$$

La funzione o[1] è una funzione infinitesima ossia prossima a zero

$$-\frac{1}{6} + 0$$

Pertanto, il limite della funzione per x→0 è uguale a meno un sesto.

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)-x}{x^3} = -\frac{1}{6}$$

Esercizio 20

Devo studiare il limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{0}{0}$$

Può essere risolto in vari modi

Soluzione con MacLaurin

Si tratta di limite per x che tende a zero.

Quindi, per risolvere il limite posso usare la formula di MacLaurin

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$$

Sostituisco la funzione trascendente del coseno con un polinomio di ordine 2 tramite la formula di MacLaurin

$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o[x^2]$$

Scelgo la formula di ordine 2 per semplificare il polinomio di secondo grado che si trova al denominatore della funzione

Sostituisco la funzione trascendente con il polinomio 1-x²/2+o[x²]

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1- \frac{x^2}{2}+o[x^2])}{x^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1 + \frac{x^2}{2} - o[x^2]}{x^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2} - x^2 \cdot o[1]}{x^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \cdot ( \frac{1}{2} - o[1])}{x^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} - o[1]}{1}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} - o[1] = \frac{1}{2}$$

Quindi il limite è uguale a 1/2.

Soluzione con De L'Hopital

Per risolvere il limite posso anche usare il teorema di De L'Hopital

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$$

Derivo il numeratore e il denominatore

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[1 - \cos(x)]}{D[x^2]}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)]}{2x} = \frac{0}{0}$$

E' ancora una forma indeterminata.

Quindi reitero il teorema di De L'Hopital

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\sin(x)]}{D[2x]}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{1}{2}$$

Quindi, il limite della funzione è 1/2

Soluzione con la trigonometria

Per risolvere questo limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$$

Uso la formula di duplicazione del coseno

$$\cos 2a = 1-2 \sin^2 a$$

In questo caso x=2a, quindi a=x/2

$$\cos x = 1-2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Sostituisco il coseno nel limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - [ 1-2 \sin^2 \frac{x}{2} ] }{x^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1 + 2 \sin^2 \frac{x}{2} }{x^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2} }{x^2}$$

$$2 \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{x} )^2$$

Per applicare il limite notevole sin(a)/a = 1 moltiplico e divido per 2 il denominatore

$$2 \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{x \cdot \frac{2}{2}} )^2$$

$$2 \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{2 \cdot \frac{x}{2}} )^2$$

$$2 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4} \cdot ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2}} )^2$$

$$2 \cdot \frac{1}{4} \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2}} )^2$$

$$\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2}} )^2$$

Sapendo che il limite notevole sin(a)/a = 1 con a=x/2

$$\frac{1}{2} \cdot 1$$

Quindi il limite della funzione è 1/2

Esercizio 21

Devo risolvere il limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x}$$

Si tratta di una forma indeterminata 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = \frac{0}{0}$$

Per uscire dalla forma indeterminata e risolvere il limite posso seguire diverse strade

Soluzione con MacLaurin

Per risolvere il limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x}$$

Sostituisco la funzione coseno con il polinomio di MacLaurin del coseno di ordine 2

$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + o[x^2]$$

Dopo la sostituzione il limite diventa

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{( 1 - \frac{x^2}{2!} + o[x^2] )-1}{x}$$

Semplifico

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \frac{x^2}{2 \cdot 1} -1 + o[x^2]}{x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{x^2}{2} + x^2 \cdot o[1]}{x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{x}{2} + x \cdot o[1]}{1}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{2} + x \cdot o[1] = 0$$

Quindi, il limite della funzione è zero.

Nota. Per risolvere il limite avrei potuto usare anche il polinomio di MacLaurin del coseno di ordine 1. $$\cos(x) = 1 + o[x]$$ Il risultato sarebbe stato lo stesso.

Soluzione con De L'Hopital

Per risolvere il limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x}$$

utilizzo il teorema di De L'Hopital

Derivo il numeratore e il denominatore della funzione fratta

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\cos(x)-1]}{D[x]}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ -\sin(x) }{1}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} -\sin(x) = 0$$

Il limite è uguale a zero.

Soluzione alternativa

Questo limite si può risolvere anche in un altro modo

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x}$$

Sapendo che cos(0)=1, il limite precedente è paragonabile al limite di un rapporto incrementale con a=0 e f(x)=cos(a)

$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x -a} = f'(x)$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-\cos(0)}{x -0} = f'(x)$$

Quindi il limite coincide con la derivata prima della funzione f(x)=cos(x).

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-\cos(0)}{x -0} = D[ \cos(x) ]$$

La derivata prima della funzione coseno è -sin(x)

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-\cos(0)}{x -0} = -\sin(x)$$

Sapendo che sin(x)=0 per x che tende a zero

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-\cos(0)}{x -0} = 0$$

Pertanto, il limite della funzione è uguale a 0.

Soluzione con i limiti notevoli

Questo limite si può risolvere anche con i limiti notevoli

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x}$$

Moltiplico e divido per x

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} \cdot \frac{x}{x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2} \cdot x$$

Riscrivo il limite in questa forma algebrica equivalente

$$\lim_{x \rightarrow 0} (-1) \cdot \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot x$$

$$-1 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot x$$

Sapendo che [1-cos(x)]/x² è un limite notevole uguale a 1/2

$$-1 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot x = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$$

Il limite è uguale a zero.

Esercizio 22

Devo risolvere il limite

$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}}$$

La tangente di π/4 (45°) è uguale a 1

$$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$$

Quindi, il limite è una forma indeterminata 0/0

$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}} = \frac{0}{0}$$

Sapendo che tan(π/4)=1, mi accorgo che il limite è paragonabile al limite di un rapporto incrementale con a=π/4 e f(x)=tan(a)

$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x -a} = f'(x)$$

$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = f'(x)$$

Il limite del rapporto incrementale è la derivata f'(x)

Quindi il limite coincide con la derivata prima della funzione f(x)=tan(x).

$$\lim_{x \rightarrow \frac{pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = D[ \tan(x) ]$$

La derivata prima della tangente è 1/cos²(x)

$$\lim_{x \rightarrow \frac{pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\cos^2(x)}$$

Per x che tende a π/4, il coseno di π/4 è uguale (√2)/2

$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{2}{4}}$$

$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}}$$

$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = 2$$

Pertanto, il limite della funzione è uguale a 2.

Verifica. Il limite è risolvibile anche con il teorema di De L'Hopital. $$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}}$$ Derivo il numeratore e il denominatore. $$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{D[ \tan(x)-1 ]}{D[x - \frac{\pi}{4}]}$$ $$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{1} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2(x)}$$ Per x che tende a π/4, il coseno di π/4 è uguale (√2)/2 $$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{1}{( \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1} {\frac{2}{4} } = 1 \cdot \frac{4}{2} = 2$$ Il risultato è lo stesso.

Esercizio 23

Devo studiare il limite

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x-1}$$

Questo limite genera una forma indeterminata del tipo 0/0

Per risolvere il limite sostituisco le funzioni trascendenti sin(x) ed e^x con i polinomi algebrici ottenuti usando la formula di MacLaurin di ordine 1 per x→0

$$\sin(x) = x + o[x]$$

$$e^x = 1+x+o[x]$$

Sostituisco sin(x)=x+o[x]

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x-1}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + o[x]}{e^x-1}$$

Sostituisco e^x=1+x+o[x]

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + o[x]}{[ 1+x+o[x] ]-1}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + o[x]}{x+o[x]}$$

Per la proprietà degli o piccoli o[x]=x·o[1]

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + x \cdot o[1]}{x+ x \cdot o[1]}$$

Metto in evidenza la x e semplifico

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot (1 + o[1])}{x \cdot (1+ o[1])}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + o[1]}{1+ o[1]}$$

Le funzioni o[1] sono funzioni infinitesime che tendono a zero per x→0

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + o[1]}{1+ o[1]} = \frac{1}{1} = 1$$

Pertanto, il limite della funzione per x→0 è uguale a uno.

Esercizio 24

In questo esercizio studio il limite per x che tende a 2 della funzione

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2+5} - \sqrt{x^3+1}}{2x-x^2}$$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2+5} - \sqrt{x^3+1}}{2x-x^2} = \frac{0}{0}$$

Per rimuovere la forma indeterminata razionalizzo il numeratore

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2+5} - \sqrt{x^3+1}}{2x-x^2} \cdot \frac{\sqrt{x^2+5} + \sqrt{x^3+1}}{\sqrt{x^2+5} + \sqrt{x^3+1}}$$

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2+5}\sqrt{x^2+5} - \sqrt{x^3+1} \sqrt{x^3+1} }{2x-x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+5} + \sqrt{x^3+1}}$$

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{(x^2+5)^2} - \sqrt{(x^3+1)^2} }{2x-x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+5} + \sqrt{x^3+1}}$$

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^2+5 - x^3-1 }{2x-x^2} \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{\sqrt{x^2+5} + \sqrt{x^3+1}}$$

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^2 - x^3+4 }{2x-x^2} \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{\sqrt{x^2+5} + \sqrt{x^3+1}}$$

Il secondo limite tende a 1/6

$$[ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^2 - x^3+4 }{2x-x^2} ] \cdot \frac{1}{6}$$

$$\frac{1}{6} \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^2 - x^3+4 }{2x-x^2}$$

L'altro limite è ancora una forma indeterminata 0/0

Per uscirne semplifico il numeratore usando il metodo di Ruffini

$$\frac{1}{6} \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^2 - x^3+4 }{2x-x^2}$$

$$\frac{1}{6} \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ (x-2) \cdot ( -x^2 - x -2) }{2x-x^2}$$

Nota. Usando il metodo di Ruffini il polinomio x²-x³+4 posso scriverlo nella forma equivalente (x-2)(-x²-x-2) $$\begin{array}{c|cr} & \text{-1} & \text{1} & \text{0} & \text{4} \\ 2 & & -2 & -2 & -4 \\ \hline & -1 & -1 & -2 & 0 \end{array}$$

Riscrivo il denominatore (2x-x²) in una forma equivalente (-x)·(x-2) per poter semplificare la frazione

$$\frac{1}{6} \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ (x-2) \cdot ( -x^2 - x -2) }{(-x) \cdot (x-2)}$$

Poi semplifico (x-2) al numeratore e al denominatore

$$\frac{1}{6} \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ ( -x^2 - x -2) }{(-x) }$$

Ora il limite è calcolabile ed è pari a 4

$$\frac{1}{6} \cdot \frac{-8}{-2}$$

$$\frac{1}{6} \cdot 4$$

$$\frac{4}{6}$$

$$\frac{2}{3}$$

Il limite della funzione è 2/3.

Esercizio 25

In questo esercizio devo calcolare il limite per x che tende a 0 della funzione

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}-\sqrt{4+x^2}}$$

Il punto x=0 è un punto di accumulazione appartenente al dominio della funzione.

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}-\sqrt{4+x^2}} = \frac{0}{0}$$

Rimuovo la forma indeterminata razionalizzando il denominatore

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}-\sqrt{4+x^2}} \cdot \frac{2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{(3-\sqrt{9-x^2}) \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) }{2 \sqrt{1+x^2} \cdot 2 \sqrt{1+x^2} -\sqrt{4+x^2} \cdot \sqrt{4+x^2}}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{(3-\sqrt{9-x^2}) \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) }{4 (1+x^2) -(4-x^2)}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{(3-\sqrt{9-x^2}) \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) }{4+4x^2 -4-x^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{(3-\sqrt{9-x^2}) \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2}) }{3x^2}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} \cdot (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2})$$

$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } (2 \sqrt{1+x^2}+\sqrt{4+x^2})$$

Il secondo limite tende a 4

$$[ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} ] \cdot 4$$

$$4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2}$$

L'altro limite è ancora una forma indeterminata 0/0

A questo punto razionalizzo il numeratore

$$4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2} }{3x^2} \cdot \frac{3+\sqrt{9-x^2}}{3+\sqrt{9-x^2}}$$

$$4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3 \cdot 3 + 3\sqrt{9-x^2} - 3\sqrt{9-x^2} -\sqrt{9-x^2}\sqrt{9-x^2} }{3x^2 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})}$$

$$4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{9 -(9-x^2) }{3x^2 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})}$$

$$4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{9 - 9+x^2 }{3x^2 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})}$$

$$4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{x^2 }{3x^2 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})}$$

Elimino x² al numeratore e al denominatore

$$4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1 }{3 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})}$$

Ora anche l'altro limite è calcolabile

$$4 \cdot \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1 }{3 \cdot (3 + \sqrt{9-x^2})} = 4 \cdot \frac{1}{18} = \frac{2}{9}$$

Pertanto, il limite della funzione è 2/9.

Esercizio 26

Devo studiare questo limite per x che tende a zero

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin x^4}{x^2 \log (1+x^3)}$$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin x^4}{x^2 \log (1+x^3)} = \frac{0}{0}$$

Per uscire dalla forma indeterminata riscrivo il limite in questa forma equivalente

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1)}{x} \cdot \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)} =$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1)}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)}$$

Moltiplico e divido il primo limite per 3

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1)}{x} \cdot \frac{3}{3} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)}$$

$$3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1)}{3x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)}$$

In questo modo ottengo il limite notevole (e^t-1)/t=1 dove t=3x

$$3 \cdot [ 1 ] \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)}$$

$$3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)}$$

Ora moltiplico e divido per x³ il denominatore dell'altro limite

$$3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3) \cdot \frac{x^3}{x^3} }$$

$$3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x^4 \cdot \frac{\log (1+x^3)}{x^3} }$$

$$3 \cdot [ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x^4} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1}{ \frac{\log (1+x^3)}{x^3} } ]$$

In questo modo ottengo altri due limiti notevoli

Il primo limite notevole è sin(t)/t=1 dove t=x⁴

$$3 \cdot [ 1 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1}{ \frac{\log (1+x^3)}{x^3} } ]$$

$$3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1}{ \frac{\log (1+x^3)}{x^3} }$$

L'ultimo limite notevole è log(t+1)/t=1 dove t=x³

$$3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1}{ \frac{\log (1+x^3)}{x^3} } = 3 \cdot \frac{1}{1} = 3$$

Quindi il limite per x->0 è 3.

Esercizio 27

Devo calcolare il limite di $\frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}$ per $x \to \infty$.

$$\lim_{x \to \infty}  \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}$$

Per farlo posso seguire diverse strade.

In questo caso non posso utilizzare il teorema di De L'Hopital perché anche se il limite è una forma indeterminata del tipo $\frac{\infty}{\infty}$, il limite delle derivate non è finito ma oscilla tra 0 e infinito. $$\lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} =  \lim_{x \to \infty} \frac{1+\cos(x)}{1+\sin(x)}$$

Soluzione 1

Posso semplificare la frazione dividendo numeratore e denominatore per $x$.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x + \sin(x)}{x}}{ \frac{x - \cos(x)}{x}}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x}{x} + \frac{\sin(x)}{x}}{ \frac{x}{x} - \frac{\cos(x)}{x}}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\sin(x)}{x}}{1 - \frac{\cos(x)}{x}}$$

Ora, osservo che sia $\frac{\sin(x)}{x}$ che $\frac{\cos(x)}{x}$ tendono a 0 quando $x$ tende a $\infty$, perché $\sin(x)$ e $\cos(x)$ sono funzioni limitate (compresi tra -1 e 1) ma $x$ tende a infinito.

Quindi posso risolvere il limite perché sia il numeratore che il denominatore tendono a 1.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\sin(x)}{x}}{1 - \frac{\cos(x)}{x}} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$$

Pertanto, il limite di $\frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}$ per $x \to \infty$ è 1.

$$\lim_{x \to \infty}  \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} = 1$$

Soluzione 2

Posso studiare il limite di $\frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}$ per $x \to \infty$ anche usando il teorema dei carabinieri (o del confronto)

$$\lim_{x \to \infty}  \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}$$

Devo trovare due funzioni che limitano la funzione.

$$f(x) = \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}$$

Sia $\sin(x)$ che $\cos(x)$ sono funzioni limitate tra -1 e 1 per ogni $x$.

$$-1 \leq \sin(x) \leq 1$$

$$-1 \leq \cos(x) \leq 1$$

Quindi, posso trovare i limiti superiori e inferiori per $f(x)$:

$$\frac{x - 1}{x + 1} \leq \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \frac{x + 1}{x - 1}$$

Ora calcolo il limite per x che tende a infinito di ogni termine

$$\lim_{x \to \infty}  \frac{x - 1}{x + 1} \leq \lim_{x \to \infty}  \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \lim_{x \to \infty}  \frac{x + 1}{x - 1}$$

A questo punto considero i limiti di queste due funzioni quando $x$ tende a $\infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \leq \lim_{x \to \infty}  \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \lim_{x \to \infty}   \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$$

$$\frac{1 - 0}{1 + 0} \leq \lim_{x \to \infty}  \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \frac{1 + 0}{1 - 0}$$

$$1 \leq \lim_{x \to \infty}  \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq 1$$

Secondo il teorema dei carabinieri, se una funzione è limitata superiormente e inferiormente da due funzioni che tendono allo stesso limite, allora anche la funzione data tenderà a quel limite.

In questo caso sia il limite inferiore che superiore sono uguali a 1.

$$\color{red}1 \leq \lim_{x \to \infty}  \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \color{red}1$$

Quindi, posso concludere che anche il limite della funzione iniziale è uguale a 1

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} = 1$$

E così via.