Esercizio studio del limite 24
Devo calcolare il limite di \(\frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}\) per \(x \to \infty\).
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} $$
Per farlo posso seguire diverse strade.
In questo caso non posso utilizzare il teorema di De L'Hopital perché anche se il limite è una forma indeterminata del tipo $ \frac{\infty}{\infty} $, il limite delle derivate non è finito ma oscilla tra 0 e infinito. $$ \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+\cos(x)}{1+\sin(x)} $$
Soluzione 1
Posso semplificare la frazione dividendo numeratore e denominatore per \(x\).
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} $$
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x + \sin(x)}{x}}{ \frac{x - \cos(x)}{x}} $$
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x}{x} + \frac{\sin(x)}{x}}{ \frac{x}{x} - \frac{\cos(x)}{x}} $$
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\sin(x)}{x}}{1 - \frac{\cos(x)}{x}} $$
Ora, osservo che sia \(\frac{\sin(x)}{x}\) che \(\frac{\cos(x)}{x}\) tendono a 0 quando \(x\) tende a \(\infty\), perché \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\) sono funzioni limitate (compresi tra -1 e 1) ma \(x\) tende a infinito.
Quindi posso risolvere il limite perché sia il numeratore che il denominatore tendono a 1.
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\sin(x)}{x}}{1 - \frac{\cos(x)}{x}} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$$
Pertanto, il limite di \(\frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}\) per \(x \to \infty\) è 1.
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} = 1 $$
Soluzione 2
Posso studiare il limite di \(\frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)}\) per \(x \to \infty\) anche usando il teorema dei carabinieri (o del confronto)
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} $$
Devo trovare due funzioni che limitano la funzione.
$$ f(x) = \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} $$
Sia \(\sin(x)\) che \(\cos(x)\) sono funzioni limitate tra -1 e 1 per ogni \(x\).
$$ -1 \leq \sin(x) \leq 1 $$
$$ -1 \leq \cos(x) \leq 1 $$
Quindi, posso trovare i limiti superiori e inferiori per \(f(x)\):
$$ \frac{x - 1}{x + 1} \leq \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \frac{x + 1}{x - 1} $$
Ora calcolo il limite per x che tende a infinito di ogni termine
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{x + 1} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} $$
A questo punto considero i limiti di queste due funzioni quando \(x\) tende a \(\infty\):
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} $$
$$ \frac{1 - 0}{1 + 0} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \frac{1 + 0}{1 - 0} $$
$$ 1 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq 1 $$
Secondo il teorema dei carabinieri, se una funzione è limitata superiormente e inferiormente da due funzioni che tendono allo stesso limite, allora anche la funzione data tenderà a quel limite.
In questo caso sia il limite inferiore che superiore sono uguali a 1.
$$ \color{red}1 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} \leq \color{red}1 $$
Quindi, posso concludere che anche il limite della funzione iniziale è uguale a 1
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} = 1 $$
E così via.
