I principi di equivalenza delle equazioni

I principi di equivalenza mi permettono di trasformare un'equazione iniziale in un'equazione equivalente con lo stesso insieme di soluzioni ma più semplice da risolvere.

Esistono due principi di equivalenza delle equazioni

Il primo principio di equivalenza

Se addiziono o sottraggo lo stesso numero (o espressione) a entrambi i membri di un'equazione, ottengo un'equazione equivalente.

Questo principio si basa sulla prima legge di monotonia delle uguaglianze.

Esempio. Considero l'equazione $$ 2 - x = 6 - 2x $$ Sommo 2x a entrambi i membri dell'equazione $$ 2 - x + 2x = 6 - 2x + 2x $$ $$ 2 + x = 6 $$ Poi sottraggo 2 a entrambi i membri $$ 2 + x - 2 = 6 - 2 $$ $$ x = 4 $$ Il risultato è un'equazione equivalente in cui la soluzione è più facile da trovare. In questo caso la soluzione dell'equazione è immediata.

Quali regole pratiche derivano dal primo principio di equivalenza?

• La regola del trasporto
  Posso spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro dell’equazione cambiandogli di segno. Questo equivale sottrarre quel termine da entrambi i membri dell’equazione.

  Esempio. Prendo come esempio l'equazione $$ x^2+3 = 2x-2 $$ Sposto $ 2x $ dal membro di destra a quello di sinistra cambiandogli segno. $$ x^2+3 - 2x= -2 $$ Questo equivale a sottrarre 2x da entrambi i membri. $$ x^2+3 - 2x = 2x-2 -2x $$ $$ x^2+3 - 2x= -2 $$ Allo stesso modo posso spostare 3 da sinistra a destra cambiandogli segno. $$ x^2+3 = 2x-2 $$ $$ x^2 = 2x-2 - 3 $$ E via dicendo.

• Legge di cancellazione
  Se uno stesso addendo compare in entrambi i membri, può essere eliminato.

  Esempio. Considero questa equazione $$ x^2 + 2x = 3 + 2x $$ Il termine addendo $ 2x $ compare sia al membro di destra che di sinistra, quindi posso eliminarlo. $$ \require{cancel} x^2 \cancel{+ 2x} = 3 \cancel{+ 2x} $$ $$ x^2 = 3 $$

Il secondo principio di equivalenza

Se moltiplico o divido per lo stesso numero (o espressione) diverso da zero entrambi i membri di un'equazione, ottengo un'equazione equivalente.

Questo principio si basa sulla seconda legge di monotonia delle uguaglianze.

Esempio. Considero l'equazione $$ \frac{x}{2} = 8 $$ moltiplico entrambi i membri dell'equazione per 2 $$ \frac{x}{2} \cdot 2 = 8 \cdot 2 $$ $$ x = 16 $$ In questo modo ottengo un'equazione equivalente più semplice, in cui la soluzione è più evidente. In questo caso la soluzione è immediata.

Quali regole pratiche derivano dal secondo principio di equivalenza?

• Se tutti i termini dell'equazione hanno un fattore in comune non nullo, posso dividerli per quel fattore.

  Esempio. Considero l'equazione $$ 4x^2 + 2 = 6x - 4 $$ Tutti i coefficienti sono divisibili per due. Quindi posso dividere ogni termine per due e semplificare l'equazione. $$ 2x^2 + 1 = 3x - 2 $$ Questo equivale a dividere per due entrambi i membri dell'equazione. $$ \frac{ 4x^2 + 2}{2} = \frac{ 6x - 4}{2} $$

• Posso cambiare il segno a tutti i termini dell'equazione.

  Esempio. Considero l'equazione $$ 4x^2 + 2 = 6x - 4 $$ Se inverto il segno a tutti i termini ottengo un'equazione equivalente, ossia la stessa equazione scritta in modo diverso. $$ -4x^2 - 2 = -6x + 4 $$ Questo equivale a moltiplicare per -1 entrambi i membri dell'equazione. $$ (-1) \cdot ( 4x^2 + 2 ) = (-1) \cdot ( 6x - 4 ) $$

• Posso trasformare un'equazione a coefficienti frazionari in una equazione equivalente a coefficienti interi, moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.

  Esempio. Considero l'equazione $$ \frac{2}{3} x^2 + \frac{1}{2} = 7 $$ Il minimo comune multiplo dei denominatori è $ mcm(3,2)=6 $ Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per 6. $$ 6 \cdot ( \frac{2}{3} x^2 + \frac{1}{2} ) = 7 \cdot 6 $$ $$ 6 \cdot \frac{2}{3} x^2 + 6 \cdot \frac{1}{2} = 42 $$ $$ 2 \cdot 2 x^2 + 3 \cdot 1 = 42 $$ $$ 4 x^2 + 3 = 42 $$ Il risultato finale è una equazione equivalente a coefficienti interi.

L’uso di funzioni iniettive o biunivoche

Oltre ai principi algebrici, in analisi si sfruttano le proprietà delle funzioni iniettive, e più generalmente delle funzioni biunivoche o monotone, per trasformare equazioni in altre equivalenti.

In altre parole, posso applicare la funzione f(x) a entrambi i membri di una equazione e ottenere un'equazione equivalente con lo stesso insieme di soluzioni ma più semplice da risolvere.

Attenzione. Affinché l’equivalenza sia garantita, la funzione dev’essere definita, iniettiva (o biunivoca) e avere come dominio l’insieme di definizione delle soluzioni.

Esempio

Considero l'equazione

$$ x^2 = 16 $$

La funzione f(x)=√x è una funzione iniettiva

$$ f(x) = \sqrt{x} $$

Quindi posso applicarla a entrambi i membri dell'equazione

$$ f(x^2) = f(16) $$ $$ \sqrt{ x^2 } = \sqrt{ 16 } $$ $$ x = \pm 4 $$

In questo modo ottengo un'equazione equivalente in cui le soluzioni sono più semplici da trovare o immediate.

In questo caso l'equazione iniziale si risolve con i valori x=4 e x=-4

Le condizioni di esistenza dell'equazione

Posso applicare i principi di equivalenza, purché la condizione di esistenza dell'equazione resti la stessa.

Ad esempio, la precedente equazione si risolve con x=4.

$$ 2 - x = 6 - 2x $$

Se sommo 1/(x-4) a entrambi i membri

$$ 2 - x + \frac{1}{x-4} = 6 - 2x + \frac{1}{x-4} $$

ottengo un'equazione che non è più equivalente alla precedente, perché è indefinita in x=4, in quanto si verifica una divisione per zero nelle frazioni.

Perché non è equivalente? Non essendo definita in x=4, quest'ultima equazione non ha lo stesso insieme di soluzioni dell'equazione iniziale che invece si risolve con x=4. Pertanto, non è un'equazione equivalente. 

E così via.