I principi di equivalenza delle equazioni

I principi di equivalenza mi permettono di trasformare un'equazione iniziale in un'equazione equivalente con lo stesso insieme di soluzioni ma più semplice da risolvere.

Esistono due principi di equivalenza delle equazioni

• Primo principio di equivalenza
  Se addiziono o sottraggo lo stesso numero (o espressione) a entrambi i membri di un'equazione, ottengo un'equazione equivalente.
  
  Questo principio si basa sulla prima legge di monotonia delle uguaglianze.

  Esempio. Considero l'equazione $$ 2 - x = 6 - 2x $$ Sommo 2x a entrambi i membri dell'equazione $$ 2 - x + 2x = 6 - 2x + 2x $$ $$ 2 + x = 6 $$ Poi sottraggo 2 a entrambi i membri $$ 2 + x - 2 = 6 - 2 $$ $$ x = 4 $$ Il risultato è un'equazione equivalente in cui la soluzione è più facile da trovare. In questo caso la soluzione dell'equazione è immediata.

• Il secondo principio di equivalenza
  Se moltiplico o divido per lo stesso numero (o espressione) diverso da zero entrambi i membri di un'equazione, ottengo un'equazione equivalente.
  
  Questo principio si basa sulla seconda legge di monotonia delle uguaglianze.

  Esempio. Considero l'equazione $$ \frac{x}{2} = 8 $$ moltiplico entrambi i membri dell'equazione per 2 $$ \frac{x}{2} \cdot 2 = 8 \cdot 2 $$ $$ x = 16 $$ In questo modo ottengo un'equazione equivalente più semplice, in la soluzione è più evidente. In questo caso la soluzione è immediata.

Ai precedenti principi di equivalenza algebrici delle equazioni, aggiungo un'ulteriore punto che mi è molto utile in analisi matematica.

• Le funzioni iniettive
  Se una funzione f(x) è una funzione iniettiva, posso applicare la funzione f(x) a entrambi i membri di una equazione e ottenere un'equazione equivalente con lo stesso insieme di soluzioni ma più semplice da risolvere.

  Esempio. Considero l'equazione $$ x^2 = 16 $$ La funzione f(x)=√x è una funzione iniettiva $$ f(x) = \sqrt{x} $$ quindi posso applicarla a entrambi i membri dell'equazione $$ f(x^2) = f(16) $$ $$ \sqrt{ x^2 } = \sqrt{ 16 } $$ $$ x = \pm 4 $$ In questo modo ottengo un'equazione equivalente in cui le soluzioni sono più semplici da trovare o immediate. In questo caso l'equazione iniziale si risolve con i valori x=4 e x=-4

Le condizioni di esistenza dell'equazione

Posso applicare i principi di equivalenza, purché la condizione di esistenza dell'equazione resti la stessa.

Ad esempio, la precedente equazione si risolve con x=4.

$$ 2 - x = 6 - 2x $$

Se sommo 1/(x-4) a entrambi i membri

$$ 2 - x + \frac{1}{x-4} = 6 - 2x + \frac{1}{x-4} $$

ottengo un'equazione che non è più equivalente alla precedente, perché è indefinita in x=4, in quanto si verifica una divisione per zero nelle frazioni.

Perché non è equivalente? Non essendo definita in x=4, quest'ultima equazione non ha lo stesso insieme di soluzioni dell'equazione iniziale che invece si risolve con x=4. Pertanto, non è un'equazione equivalente.

E così via.