Sistema di equazioni omogenee
Un sistema di equazioni è detto sistema di equazioni omogeneo se è composto da equazioni omogenee.
Un'equazione è detta omogenea se è uguale a zero e tutti i monomi hanno lo stesso grado.
Come si calcola il grado di un monomio? Il grado di un monomio è la somma degli esponenti dei letterali che lo compongono. Ad esempio, il grado del monomio xy2 è uguale a tre perché la lettera x ha esponente uno mentre la lettera y ha esponente due (1+2=3).
Se i monomi delle equazioni sono tutti di primo grado si parla di sistema lineare omogeneo.
Un esempio pratico
Esempio 1
Questo sistema di equazioni è omogeneo perché entrambe le equazioni sono omogenee e uguali a zero.
$$ \begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ \\ x - y = 0 \end{cases} $$
Analizzo le due equazioni singolarmente
- La prima equazione è omogenea di primo grado perché tutti i monomi (3x e 2y) sono di grado uno. Pertanto, è un'equazione omogenea.
- La prima equazione è omogenea di primo grado perché tutti i monomi (x e -y) sono di grado uno. Pertanto, è un'equazione omogenea.
Entrambe le equazioni sono omogenee.
Pertanto, il sistema di equazioni è omogeneo di primo grado.
Nota. In questo caso particolare il sistema è anche un sistema lineare omogeneo perché entrambe le equazioni omogenee sono equazioni lineari.
Esempio 2
Questo sistema di equazioni è un sistema omogeneo di quarto grado
$$ \begin{cases} y^2 -2xy -3x^2 = 0 \\ \\ x^2+3xy +2y^2 = 0 \end{cases} $$
Analizzo le equazioni
- La prima equazione è omogenea di secondo grado perché tutti i monomi (2x2, -2xy, -3x2) sono di secondo grado ed è uguale a zero.
- La seconda equazione è omogenea di secondo grado perché tutti i monomi (x2, 3xy, 2x2) sono di secondo grado ed è uguale a zero.
Entrambe le equazioni sono omogenee .
Pertanto, il sistema di equazioni è omogeneo di quarto grado.
Nota. Il sistema di equazioni è omogeneo di quarto grado perché il grado di un sistema è uguale al prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. In questo caso, le due equazioni sono di secondo grado (2·2=4).
Come risolvere un sistema omogeneo
Per prima cosa verifico se esiste una soluzione banale ponendo a zero tutte le incognite del sistema.
Poi verifico se esistono anche altre soluzioni.
Esempio
Devo risolvere questo sistema omogeneo di quarto grado.
$$ \begin{cases} y^2 -2xy -3x^2 = 0 \\ \\ x^2+3xy +2y^2 = 0 \end{cases} $$
Verifico se esiste la soluzione banale ponendo x=0 e y=0
$$ \begin{cases} (0)^2 -2(0)(0) -3(0)^2 = 0 \\ \\ (0)^2+3(0)(0) +2(0)^2 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ \\ 0 = 0 \end{cases} $$
Il sistema omogeneo ha una soluzione banale.
Ora verifico se ha anche altre soluzioni.
Considero y=tx
$$ \begin{cases} y^2 -2xy -3x^2 = 0 \\ \\ x^2+3xy +2y^2 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (tx)^2 -2x(tx) -3x^2 = 0 \\ \\ x^2+3x(tx) +2(tx)^2 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t^2x^2 -2x^2t -3x^2 = 0 \\ \\ x^2+3x^2t +2t^2x^2 = 0 \end{cases} $$
Poi divido entrambi i membri delle equazioni per x2
$$ \begin{cases} \frac{t^2x^2 -2x^2t -3x^2}{x^2} = \frac{0}{x^2} \\ \\ \frac{x^2+3x^2t +2t^2x^2}{x^2} = \frac{0}{x^2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t^2 -2t -3 = 0 \\ \\ 2t^2+3t+1 = 0 \end{cases} $$
A questo punto verifico se il sistema ha soluzioni, ossia se le equazioni hanno soluzioni in comune
La prima equazione t2-2t-3=0 è di 2° grado e ha le seguenti soluzioni t=-1 e t=3
$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-3)}}{2(1)} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm 4}{2} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{2 - 4}{2} = -1 \\ \\ \frac{2 + 4}{2} = 3 \end{cases}$$
La seconda equazione 2t2+3t+1=0 è di 2° grado e ha le seguenti soluzioni t=-1 e t=-1/2
$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ t = \frac{-(3) \pm \sqrt{(3)^2-4(2)(1)}}{2(2)} $$
$$ t = \frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{4} $$
$$ t = \frac{-3 \pm 1}{4} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{-3 - 1}{4} = -1 \\ \\ \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2} \end{cases}$$
Quindi, le due equazioni del sistema hanno una soluzione in comune t=-1
Sapendo che y=tx e t=-1
$$ y = tx $$
$$ y = (-1) \cdot x $$
$$ y = - x $$
Pertanto, il sistema ha infinite soluzioni (x;y) = (α;-α) per ogni α appartenente all'insieme dei numeri reali
$$ (x;y) = (α,-α) \ \ \forall \ α \ \in R $$
Verifica. Ad esempio, considero x=1 e y=-1 $$ \begin{cases} y^2 -2xy -3x^2 = 0 \\ \\ x^2+3xy +2y^2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} (-1)^2 -2(1)(-1) -3(1)^2 = 0 \\ \\ (1)^2+3(1)(-1) +2(-1)^2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 1 +2 -3 = 0 \\ \\ 1-3 +2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 0 = 0 \\ \\ 0 = 0 \end{cases} $$ La coppia (x;y)=(1;-1) è una soluzione del sistema. Altre soluzioni del sistema sono (2;-2), (-1;1), (-2;2) ecc.
E così via.