Le equazioni
Cos'è un'equazione
Un'equazione è un'uguaglianza tra espressioni letterali composte da una o più lettere, dette incognite, di cui devo cercare i valori che soddisfano l'uguaglianza.
Ad esempio, questa equazione è soddisfatta per x=1
$$ 3x - 1 = 2x $$
Verifica. Sostituendo all'incognita x il valore uno, ossia x=1, ottengo un'uguaglianza tra i due membri $$ 3 \cdot 1 = 2 \cdot 1 $$
L'espressione a sinistra del simbolo uguale è detta "primo membro", mentre quella a destra del simbolo uguale è detta "secondo membro" dell'equazione.
I valori assegnati all'incognita che rendono vera l'uguaglianza sono invece detti soluzioni o radici dell'equazione.
Ad esempio, nell'equazione precedente 3x-1=2x il valore x=1 è una soluzione dell'equazione.
Risolvere un'equazione vuol dire trovare tutte le soluzioni (insieme delle soluzioni) che verificano l'uguaglianza.
Nell'equazione precedente 3x-1=2x l'insieme delle soluzioni è composto da una sola soluzione, ossia x=1.
$$ S = {1} $$
In base al numero delle soluzioni l'equazione è detta
- determinata
se ha un numero finito di soluzioni - indeterminata
se ha infinite soluzioni - impossibile
se non ha soluzioni
Differenza tra identità e equazione. Un'equazione è una identità se e solo se l'uguaglianza è soddisfatta per ogni valore assegnabile alle variabili incognite. Viceversa, se l'equazione è soddisfatta soltanto per alcuni valori o nessuno, non è un'identità.
L'equazione è detta in forma normale (o forma canonica) viene scritta nella forma P=0 dove P è un polinomio ridotto senza monomi simili.
$$ P = 0 $$
Ad esempio, l'equazione precedente 3x-1=2x posso scriverla in forma normale spostando tutti i termini al primo membro e semplificando.
$$ 3x - 1 = 2x $$
$$ 3x - 1 - 2x = 2x - 2x $$
$$ x - 1 = 0 $$
Quest'ultima è un'equazione equivalente ridotta in forma normale.
Il termine senza l'incognita è detto termine noto.
Esempio. In questo caso il termine noto è -1. $$ x \color{red}{- 1} = 0 $$
Il grado dell'equazione è il grado del polinomio ridotto, ossia l'esponente più grande dell'incognita.
Esempio. In questo caso l'equazione è di 1° grado perché l'esponente più alto dell'incognita x è uguale a 1. $$ x^{\color{red}1} - 1 = 0 $$ Le equazioni di primo grado sono anche dette equazioni lineari.
Tipi di equazioni
Esistono diversi tipi di equazioni
- Le equazioni intere
Sono equazioni in cui l'incognita compare solo al numeratore.Esempio. $$ \frac{x+1}{2} = 0 $$
- Le equazioni fratte
Sono equazioni in cui l'incognita compare anche al denominatore.Esempio. $$ \frac{x+1}{2x} = 0 $$
- Le equazioni letterali o parametriche
Sono equazioni in cui oltre alle incognite compaiono anche altre lettere dette coefficienti o parametri.Esempio. $$ \frac{kx+1}{2} = 0 $$ Dove k è un parametro e x è una incognita.
Una raccolta di appunti sulle equazioni
- Le equazioni numeriche intere
- Le equazioni lineari (primo grado)
- Le equazioni di secondo grado
- Le equazioni con il valore assoluto
- Le equazioni esponenziali
- Le equazioni irrazionali
- Le equazioni goniometriche
- Le equazioni logaritmiche
I sistemi di equazioni
