Le equazioni

Cos'è un'equazione

Un'equazione è un'uguaglianza tra espressioni letterali composte da una o più lettere, dette incognite, di cui devo cercare i valori che soddisfano l'uguaglianza.

Ad esempio, questa equazione è soddisfatta per x=1

$$ 3x - 1 = 2x $$

Verifica. Sostituendo all'incognita x il valore uno, ossia x=1, ottengo un'uguaglianza tra i due membri $$ 3 \cdot 1 = 2 \cdot 1 $$

L'espressione a sinistra del simbolo uguale è detta "primo membro", mentre quella a destra del simbolo uguale è detta "secondo membro" dell'equazione.

I valori assegnati all'incognita che rendono vera l'uguaglianza sono invece detti soluzioni o radici dell'equazione.

Ad esempio, nell'equazione precedente 3x-1=2x il valore x=1 è una soluzione dell'equazione.

Risolvere un'equazione vuol dire trovare tutte le soluzioni (insieme delle soluzioni) che verificano l'uguaglianza.

Nell'equazione precedente 3x-1=2x l'insieme delle soluzioni è composto da una sola soluzione, ossia x=1.

$$ S = {1} $$

In base al numero delle soluzioni l'equazione è detta

• determinata (o propria)
  se l'equazione ha un numero finito di soluzioni

  Esempio. Questa equazione di primo grado $$ 2x = 4 $$ ha una soluzione $$ x = \frac{4}{2} = 2 $$ Poiché c’è un numero finito di soluzioni, in questo caso una, l’equazione è determinata.

• indeterminata
  se l'equazione ha infinite soluzioni

  Esempio. Questa equazione è indeterminata perché è vera per qualunque valore di $x$ $$ 0 \cdot x = 0 $$ Quindi l’equazione è soddisfatta da infiniti valori di $x$ ossia ha infinite soluzioni.

• impossibile
  se l'equazione non ha soluzioni

  Esempio. Considero questa equazione $$ x + 1 = x + 3 $$ La risolvo e ottengo: $$ x + 1 - x = x + 3 - x $$ $$ 1 = 3 $$ Il risultato è una contraddizione, l'equazione non è mai vera per nessun valore di $x$. Non ha soluzioni. Quindi, l’equazione è impossibile.

L'equazione è detta in forma normale (o forma canonica) viene scritta nella forma P=0 dove P è un polinomio ridotto senza monomi simili.

$$ P = 0 $$

Ad esempio, l'equazione precedente 3x-1=2x posso scriverla in forma normale spostando tutti i termini al primo membro e semplificando.

$$ 3x - 1 = 2x $$

$$ 3x - 1 - 2x = 2x - 2x $$

$$ x - 1 = 0 $$

Quest'ultima è un'equazione equivalente ridotta in forma normale.

Il termine senza l'incognita è detto termine noto.

Esempio. In questo caso il termine noto è -1. $$ x \color{red}{- 1} = 0 $$

Il grado dell'equazione è il grado del polinomio ridotto, ossia l'esponente più grande dell'incognita.

Esempio. In questo caso l'equazione è di 1° grado perché l'esponente più alto dell'incognita x è uguale a 1. $$ x^{\color{red}1} - 1 = 0 $$ Le equazioni di primo grado sono anche dette equazioni lineari.

Il dominio di un'equazione

Quando si risolve un’equazione, è fondamentale sapere in quale insieme numerico stiamo cercando le soluzioni. Questo insieme si chiama dominio (o insieme di definizione) dell’equazione.

In pratica, il dominio stabilisce quali numeri posso considerare come possibili soluzioni. Se non viene specificato diversamente, di solito si assume come dominio l’insieme R dei numeri reali.

Nota. Il dominio può cambiare radicalmente il risultato della risoluzione di un’equazione. A seconda dell’insieme scelto, un’equazione può ammettere una soluzione, ammettere più soluzioni o non ammettere nessuna soluzione.

Esempio

Considero l’equazione:

$$ 2x = 1 $$

Se il dominio è l'insieme R dei numeri reali, l'equazione ha una soluzione:

$$ x = \frac{1}{2} $$

Se, invece, il dominio è l'insieme N dei numeri naturali, l'equazione non ha soluzioni, perché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per 2, dia 1.

Quindi, è importante specificare sempre il dominio dell'equazione per evitare ambiguità e malintesi. Ecco perché, in molti esercizi, la prima cosa da stabilire è proprio l’insieme su cui si lavora.### Esempio pratico

Esempio 2

Considero l'equazione

$$ \frac{1}{x-3} = 2 $$

In questo caso il dominio non è l'insieme R dei numeri reali perché devo escludere $ x = 3$, in quanto annullerebbe il denominatore.

Pertanto, il dominio dell'equazione è $R \setminus \{3\}$.

Tipi di equazioni

Esistono diversi tipi di equazioni

• Le equazioni intere
  Sono equazioni in cui l'incognita compare solo al numeratore.

  Esempio. $$ \frac{x+1}{2} = 0 $$

• Le equazioni fratte (o frazionarie)
  Sono equazioni in cui l'incognita compare anche al denominatore.

  Esempio. $$ \frac{x+1}{2x} = 0 $$

• Le equazioni letterali o parametriche
  Sono equazioni in cui, oltre alle incognite e alle eventuali costanti, compaiono anche altre lettere dette coefficienti o parametri. Un parametro è una lettera che rappresenta un valore che si suppone noto ma che non è stato ancora specificato.
  

  Esempio. $$ \frac{kx+1}{2} = 0 $$ Dove k è un parametro e x è una incognita.

In matematica esistono molti altri tipi di equazioni a seconda del loro contenuto. Ecco una breve raccolta:

• Le equazioni numeriche intere
• Le equazioni lineari (primo grado)
• Le equazioni di secondo grado
• Le equazioni con il valore assoluto
• Le equazioni esponenziali
• Le equazioni irrazionali
• Le equazioni goniometriche
• Le equazioni logaritmiche

Osservazioni e note

Alcune note aggiuntive sulle equazioni

• Differenza tra identità e equazione
  Un'equazione è una identità se e solo se l'uguaglianza è soddisfatta per ogni valore assegnabile alle variabili incognite. Viceversa, se l'equazione è soddisfatta soltanto per alcuni valori o nessuno, non è un'identità.

  Esempio. Considero l'equazione $$ 2x = 6 $$ Questa equazione è vera solo per $ x= 3 $ $$ x = \frac{6}{2} = 3 $$ Non è vera per altri valori. Quindi, questa è una equazione, non un’identità. Viceversa, quest'altra equazione è una identità perché qualunque valore io scelga per $x$, l’uguaglianza risulta vera. $$ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 $$ Ad esempio, provo con qualche numero: $$ x = 0 \ \rightarrow \ (0+1)^2 = 0^2+2 \cdot 0 + 1 =1 $$ $$ x = 2 \ \rightarrow \  (2+1)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 =  9$$ $$x = -3 \ \rightarrow \   (-3+1)^2 = (-3)^2 + 2 \cdot (-3) +1 = 4$$ Poiché è sempre vera, si tratta di un’identità.

E così via.