Equazioni di grado superiore al secondo
Come risolvere le equazioni di grado superiore al secondo
Le soluzioni delle equazioni di terzo e secondo grado posso trovarle usando formule risolutive che, a differenza dell'equazione di secondo grado, sono molto difficili da ricordare. Non sono ancora state trovate, invece, formule risolutive per le equazioni di quarto grado o superiori.
Per risolvere le equazioni di grado superiore al secondo è utile applicare due tecniche di semplificazione
- La scomposizione in fattori
- Il metodo di Ruffini
Queste due tecniche mi permettono di ridurre il grado dell'equazione e, spesso, di trovare la soluzione senza dover applicare le formule di risoluzione.
La scomposizione in fattori
Se l'equazione è un polinomio di grado n del tipo $$ P(x)=0 $$ La scomposizione in fattori consiste nel raccogliere la variabile incognita trasformando il polinomio nel prodotto di polinomi di grado inferiore. Le soluzioni posso infine cercarle applicando la legge di annullamento del prodotto.
Esempio
Considero l'equazione di terzo grado
$$ x^3 + x^2 - 2x = 0 $$
Raccolgo la variabile incognita x trasformando il polinomio di grado 3 in un prodotto tra due polinomi di grado inferiore
$$ x \cdot (x^2+x-2) = 0 $$
Applico la legge di annullamento del prodotto per trovare una soluzione.
A] La prima soluzione è banale.
Se x=0 anche il membro di sinistra dell'equazione si annulla.
$$ 0 \cdot (0^2+0-2) = 0 $$
$$ 0 \cdot (-2) = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
B] La seconda e la terza soluzione le trovo cercando le radici dell'equazione di 2° grado x2+x-2
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Sapendo che a=1, b=1, c=-2
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-2)}}{2(1)} $$
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} $$
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} $$
$$ x = \frac{-1 \pm 3}{2} = \begin{cases} x = \frac{-1-3}{2} = -2 \\ \\ x = \frac{-1+3}{2} = 1 \end{cases} $$
Le radici dell'equazione di 2° grado x2+x-2 sono x=-2 e x=1.
Anche questi due valori annullano il prodotto.
Verifica
Se x=-2 $$ x \cdot (x^2+x-2) = 0 $$ $$ (-2) \cdot ((-2)^2+(-2)-2) = 0 $$ $$ (-2) \cdot (4-2-2) = 0 $$ $$ (-2) \cdot (0) = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ Se x=1 $$ x \cdot (x^2+x-2) = 0 $$ $$ 1 \cdot (1^2+1-2) = 0 $$ $$ 1 \cdot (2-2) = 0 $$ $$ 1 \cdot (0) = 0 $$ $$ 0 = 0 $$
Pertanto, le soluzioni dell'equazione di terzo grado x3 + x2 - 2x = 0 sono
$$ \begin{cases} x = 0 \\ \\ x = -2 \\ \\ x = 1 \end{cases} $$
Il metodo di Ruffini
Il metodo di Ruffini è un'altra via per scomporre il polinomio di grado superiore al secondo in un prodotto di polinomi di grado inferiore.
Esempio
Considero l'equazione di terzo grado
$$ x^3 + x^2 - 2x = 0 $$
Il primo coefficiente (a) è uguale a uno. Quindi, non devo modificare l'equazione.
Una radice non nulla dell'equazione è x=1.
Pertanto, secondo il teorema di Ruffini il polinomio P(x)=x3 + x2 - 2x è divisibile per (x-1)
$$ \frac{P(x)}{(x-1)} = Q(x) $$
Questo equivale a dire che il polinomio P(x) è uguale al prodotto tra (x-1) e il polinomio quoziente Q(x)
$$ P(x) = (x-1) \cdot Q(x) $$
Per calcolare il polinomio quoziente Q(x) applico il metodo di Ruffini
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 1 & -2 \\ 1 & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 1 & -2 \\ 1 & & 1 & 2\\ \hline & 1 & 2 & 0 & \end{array} $$
Il polinomio quoziente è Q(x) = x2+2x
Pertanto, il polinomio P(x) posso scriverlo come
$$ P(x) = (x-1) \cdot Q(x) $$
$$ P(x) = (x-1) \cdot (x^2+2x) $$
A questo punto trovo le soluzioni applicando la legge di annullamento del prodotto
A] Il primo fattore (x-1) si annulla quando x=1
$$ (x-1)= 0 $$
B] Il secondo fattore (x2+2x) si annulla quando x=0 o x=-2
$$ x^2 +2x = 0 $$
$$ x \cdot (x+2) = 0 $$
Pertanto, le soluzioni dell'equazione iniziale di terzo grado x3 + x2 - 2x = 0 sono
$$ \begin{cases} x = 0 \\ \\ x = -2 \\ \\ x = 1 \end{cases} $$
Sono le stesse soluzioni trovate tramite il metodo della scomposizione in fattori.
Casi particolari
In alcuni casi particolari le equazioni di grado superiore al secondo sono risolvibili seguendo un ragionamento diverso.
- Equazioni binomie
Un'equazione binomia del tipo $$ ax^n + b = 0 $$ posso risolverla esplicitando l'incognita $$ x^n = - \frac{b}{a} $$ poi calcolando la radice ennesima di entrambi i membri $$ \sqrt[n]{x^n} = \sqrt[n]{ - \frac{b}{a} } $$ $$ x = \sqrt[n]{ - \frac{b}{a} } $$Esempio. Considero l'equazione di terzo grado $$ 2x^3 + 54 = 0 $$ Esplicito l'incognita $$ x^3 = - \frac{54}{2}$$ $$ x^3 = - 27 $$ Calcolo la radice cubica in entrambi i membri dell'equazione $$ \sqrt[3]{ x^3 } = \sqrt[3]{ - 27 } $$ $$ x = \sqrt[3]{ - 27 } $$ La radice cubica di -27 è -3 perché (-3)3=-27 $$ x = -3 $$ L'equazione è risolta.
- Equazioni trinomie
Un equazione trinomia di grado superiore al secondo del tipo $$ ax^2n + bx^n + c = 0 $$ dove l'incognita x ha un esponente (2n) pari il doppio dell'altro (n), posso semplificarla introducendo una variabile ausiliaria z=xn $$ az^2 + bz + c = 0 $$ Una volta trovate le radici in z, calcolo indirettamente anche quelle dell'incognita x.
Esempio. Considero l'equazione $$ x^8 - 17x^4 + 16 = 0 $$ Introduco una variabile ausiliaria z=x4 e ottengo un'equazione di secondo grado. $$ z^2 - 17z + 16 = 0 $$ A questo punto mi basta risolvere l'equazione di 2° nella variabile z. $$ z = \frac{-(-17) \pm \sqrt{225}}{2} = \begin{cases} \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1 \\ \\ \frac{ 17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \end{cases} $$ Una volta trovate le radici di z, calcolo le radici di x sapendo che z=x4 $$ x = \begin{cases} x_1^4 = 1 \\ \\ x_2^4 = 16 \end{cases} $$ $$ x = \begin{cases} x_1 = \sqrt[4]{1} \\ \\ x_2 = \sqrt[4]{16} \end{cases} $$ $$ x = \begin{cases} x_1 = \pm 1 \\ \\ x_2 = \pm 2 \end{cases} $$
E così via.
