Equazioni trinomie
Un'equazione trinomia di grado superiore al secondo del tipo $$ ax^{2n} + bx^n + c = 0 $$ dove l'incognita x è presente con esponenti l'uno (2n) il doppio dell'altro (n), posso semplificarla e risolverla introducendo una variabile ausiliaria z=xn $$ az^2 + bz + c = 0 $$
Questo mi permetti di ridurre il grado dell'equazione e di trovare le radici della variabile ausiliaria z usando la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado.
$$ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Una volta trovate le radici reali z1 e z2 della variabile ausiliaria z, se esistono, posso ricavare indirettamente le radici della variabile x
$$ x^n = z_1 $$ $$ x^n = z_2 $$
Nota. L'equazione trinomia è detta equazione biquadratica se il coefficiente n=2 è uguale a due. $$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$
Un esempio pratico
Considero l'equazione di ottavo grado
$$ x^8 - 17x^4 + 16 = 0 $$
E' un'equazione trinomia perché l'esponente dell'incognita è l'uno (8) il doppio dell'altro (4).
Introduco la variabile ausiliaria z=x4
$$ z^2 - 17z + 16 = 0 $$
In questo modo ottengo un'equazione di 2° grado in z.
Il discriminante Δ>0 è positivo, quindi l'equazione ha due soluzioni reali distinte
$$ \Delta = b^2- 4ac = (-17)^2-4(1)(16) = 289-64 = 225 $$
Trovo le radici dell'equazione z2-17z+16=0 applicando la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado.
I coefficienti sono a=1, b=-17 e c=16.
$$ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$
$$ z = \frac{-(-17) \pm \sqrt{225}}{2} $$
$$ z = \frac{17 \pm 15}{2} $$
$$ z = \begin{cases} \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1 \\ \\ \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \end{cases} $$
Ho trovato le radici z1=1 e z2=16 della variabile ausiliaria z,
A questo punto posso trovare facilmente anche le radici della variabile x sapendo che z=x4
$$ x = \begin{cases} x_1^4 = z_1 \\ \\ x_2^4 = z_2 \end{cases} $$
Le radici della variabile z sono z1=1 e z2=16
$$ x = \begin{cases} x_1^4 = 1 \\ \\ x_2^4 = 16 \end{cases} $$
Ricavo l'incognita x, applico al proprietà invariantiva calcolando la radice quarta in entrambi i membri delle equazioni.
$$ x = \begin{cases} \sqrt[4]{x_1^4} = \sqrt[4]{1} \\ \\ \sqrt[4]{x_2^4} = \sqrt[4]{16} \end{cases} $$
$$ x = \begin{cases} x_1 = \sqrt[4]{1} \\ \\ x_2 = \sqrt[4]{16} \end{cases} $$
Il tutto si riduce a risolvere due radicali.
La radice quarta di 1 è ±1 perché l'indice della radice è pari e 14=1 e (-1)4=1
$$ x = \begin{cases} x_1 = \pm 1 \\ \\ x_2 = \sqrt[4]{16} \end{cases} $$
La radice quarta di 16 è ±2 in quanto 24=16 e (-2)4=16
$$ x = \begin{cases} x_1 = \pm 1 \\ \\ x_2 = \pm 2 \end{cases} $$
Pertanto, l'equazione iniziale di ottavo grado x8 - 17x4+16=0 ha quattro soluzioni x1=±1 e x2=±2.
In questo modo ho risolto un'equazione di ottavo grado utilizzando le tecniche risolutive delle equazioni di secondo grado.
E così via.
