La regola del trasporto in algebra

Cosa afferma la regola del trasporto

In un'equazione posso trasportare un termine da un membro all'altro cambiandogli il segno da + a - o viceversa. Ad esempio, ho un'equazione $$ a \color{red}{+ b} = c - d $$ Sposto il termine "b" da sinistra a destra e gli cambio il segno da + a - $$ a = c - d \color{red}{- b} $$

Allo stesso modo posso spostare qualsiasi altro termine dell'equazione da destra a sinistra o viceversa.

Esempio

In questa equazione il termine "d" si trova a destra dell'uguale

$$ a = c \color{red}{- d} - b $$

Sposto il termine "d" a sinistra dell'uguale e gli cambio il segno da - a +

$$ a \color{red}{+ d} = c - b $$

Il risultato è un'equazione equivalente all'equazione iniziale.

A cosa serve? La regola del trasporto mi permette di di raccogliere i termini e semplificare l'equazione.

La regola algebrica del trasporto deriva dal primo principio di equivalenza.

Un esempio pratico

Considero l'equazione

$$ 5x + 5 = 3x + 1 $$

Sposto il termine 3x dal membro di destra a quello di sinistra, cambiandogli il segno

$$ 5x + 5 = 1 \color{red}{+3x} $$

$$ 5x + 5 \color{red}{- 3x} = 1 $$

Spiegazione. Per trasportare il termine 3x da destra a sinistra ho applicato il primo principio di equivalenza, sottraendo a entrambi i membri dell'equazione il termine 3x. $$ 5x + 5 \color{red}{- 3x} = 3x + 1 \color{red}{- 3x} $$ Quando sommo o sottraggo lo stesso valore in entrambi i membri ottengo un'equazione equivalente alla precedente. I termini 3x-3x nel membro di destra dell'equazione si annullano tra loro. $$ 5x + 5 - 3x = (3x - 3x) + 1 $$ $$ 5x + 5 - 3x = 1 $$

Il risultato è un'equazione equivalente.

$$ 5x + 5 \color{red}{- 3x} = 1 $$

Questo mi permette di sottrarre i termini 5x-3x tra loro e semplificare l'equazione.

$$ (5x-3x) + 5 = 1 $$

$$ 2x + 5 = 1 $$

Ora sposto il termine 5 dal membro di sinistra al membro di destra cambiandogli di segno.

$$ 2x \color{red}{+ 5}= 1 $$

$$ 2x = 1 \color{red}{- 5} $$

In questo modo posso sommare algebricamente tra loro i numeri 1 e -5

$$ 2x = -4 $$

Il risultato finale è un'equazione equivalente a quella iniziale ma molto più semplice da risolvere.

Nota. Per trovare la soluzione dell'equazione basta dividere per due entrambi i membri dell'equazione in base al secondo principio di equivalenza. $$ \frac{2x}{2} = \frac{-4}{2} $$ $$ \frac{\require{cancel} \cancel{2}x}{\cancel{2}} = \frac{-\cancel{4}_2}{\cancel{2}} $$ $$ x = -2 $$ La soluzione è x=-2.

E così via.