Equazioni reciproche

Cos'è un'equazione reciproca

Un'equazione reciproca è un polinomio ordinato in cui i coefficienti dei termini estremi e dei termini equidistanti sono uguali oppure opposti. $$ ax^3 + bx^2 + bx + a = 0 $$ $$ ax^3 + bx^2 - bx - a = 0 $$ Nel primo caso sono i termini equidistanti sono uguali, nella seconda sono opposti.

Le caratteristiche delle equazioni reciproche

Le equazioni reciproche di qualsiasi grado hanno due caratteristiche importanti

  • hanno sempre come radice +1 oppure -1
  • se m≠|1| è una radice dell'equazione, allora anche il reciproco 1/m è una radice dell'equazione

A cosa serve saperlo?

Sapendo che un'equazione reciproca ha sempre come radice 1 oppure -1, posso ridurla di grado e semplificarla usando la regola di Ruffini.

Nota. Se l'equazione reciproca è di grado pari con coefficienti opposti manca sempre il termine intermedio perché si annulla con il suo opposto. Ad esempio, un'equazione reciproca di quarto grado con coefficienti opposti si presenta in questo modo, senza il coefficiente intermedio cx2 $$ ax^4 + bx^3 -ax - b = 0 $$ Questo accade perché, essendo un'equazione reciproca, per definizione anche il termine intermedio cx2 deve avere un termine equidistante dagli estremi con coefficiente opposto. In questo caso l'altro termine equidistante dagli estremi è sempre cx2 ed essendo opposto diventa -cx2. Pertanto, i due termini si annullano reciprocamente cx2-cx2= 0.

Un esempio pratico

Considero l'equazione

$$ 4x^3-13x^2-13x+4 = 0 $$

I coefficienti estremi ed equidistanti sono uguali. Pertanto, si tratta di un'equazione reciproca.

  • Verifico se x=1 è una radice $$ 4(1)^3-13(1)^2-13(1)+4 = 0 $$ $$ 4-13-13+4 = 0 $$ $$ 8-26 = 0 $$ $$ -18 = 0 $$ Non è una radice dell'equazione.
  • Verifico se x=-1 è una radice $$ 4(-1)^3-13(-1)^2-13(-1)+4 = 0 $$ $$ -4-13+13+4 = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ In questo caso x=-1 è una radice dell'equazione.

A questo punto utilizzo il metodo di Ruffini con la radice a=-1 per semplificare il polinomio di terzo grado.

$$ P(x) = (x - a) \cdot Q(x) = 0 $$

$$ P(x) = (x - (-1)) \cdot Q(x) = 0$$

$$ P(x) = (x +1) \cdot Q(x) = 0$$

Calcolo il polinomio quoziente Q(x) usando a=-1

$$ Q(x) = \begin{array}{c|lcc|r} & 4 & -13 & -13 & 4 \\ -1 & & -4 & 17 & -4 \\ \hline & 4 & -17 & 4 & 0 \end{array} $$

Quindi Q(x) = 4x2-17x+4

$$ (x +1) \cdot Q(x) = 0 $$

$$ (x +1) \cdot (4x^2 - 17x +4) = 0 $$

Una radice dell'equazione già la conosco, è la radice x=-1

Per trovare le altre due equazioni risolvo l'equazione di 2° grado 4x2-17x+4

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

$$ x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2-4(4)(4)}}{2(4)} $$

$$ x = \frac{17 \pm \sqrt{289-64}}{8} $$

$$ x = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{8} $$

$$ x = \frac{17 \pm 15}{8} $$

$$ x = \frac{17 \pm 15}{8} = \begin{cases} x_1 = \frac{17-15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \\ \\ x_2 = \frac{17+15}{8} = \frac{32}{8} = 4 \end{cases} $$

Pertanto, le altre radici dell'equazione sono x1=1/4 e x2=4.

Inoltre, ogni radice diversa da ±1 è l'una il reciproco dell'altra.

In conclusione, le radici dell'equazione sono

$$ S = \{ \ -1 \ , \ \frac{1}{4} \ , \ 4 \ \} $$

La dimostrazione

A] Equazione reciproca con coefficienti uguali

Prendo in considerazione la generica equazione di terzo grado con i coefficienti uguali

$$ ax^3 + bx^2 + bx + a = 0 $$

Verifico se la radice è +1 oppure -1

  • Se x=1 $$ a(1)^3 + b(1)^2 + b(1) + a = 0 $$ $$ a + b + b + a = 0 $$ $$ 2a + 2b = 0 $$ Non è una radice
  • Se x=-1 $$ a(-1)^3 + b(-1)^2 + b(-1) + a = 0 $$ $$ -a + b - b + a = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ E' una radice.

In questo caso x=-1 è una radice.

B] Equazione reciproca con coefficienti opposti

Prendo in considerazione la generica equazione di terzo grado con i coefficienti opposti

$$ ax^3 + bx^2 - bx - a = 0 $$

Verifico se la radice è +1 oppure -1

  • Se x=1 $$ a(1)^3 + b(1)^2 - b(1) - a = 0 $$ $$ a + b - b - a = 0 $$ $$ 0 = 0 $$

In questo caso è x=1 ad essere una radice dell'equazione reciproca.

In conclusione, se l'equazione è reciproca una radice dell'equazione è sempre x=1 oppure x=-1.

E così via.

 


 

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