Identità
Un’identità è un’uguaglianza sempre vera, ossia un’affermazione che resta valida per ogni valore permesso delle sue variabili, oppure, se non ha variabili, è sempre logicamente vera.
Esistono due tipi di identità: numeriche e matematiche.
Le identità numeriche sono uguaglianze sempre vere tra numeri fissi (es. $2 = 2$).
Le identità matematiche, invece, coinvolgono variabili e restano vere per ogni valore ammesso delle variabili (es. $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$).
Nota. Oltre a queste ne esistono molte di più: identità logiche, identità funzionali, identità trigonometriche, identità complesse… ma per il momento restingo il campo alle due categorie più frequenti in algebra per approfondirle meglio.
Ecco un esempio di identità
$$ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $$
Qualunque valore io associ alle lettere x e y alle espressioni al primo e al secondo membro, la relazione di uguaglianza tra le due espressioni è soddisfatta.
Ad esempio, se assegno x=1 e y=2 ottengo 9 in entrambi i membri.
$$ (1+2)^2 = 1^2+2 \cdot 1 \cdot 2+2^2 $$
$$ 3^2 = 1+4+4 $$
$$ 9 = 9 $$
L'uguaglianza è soddisfatta.
Lo stesso deve valere per qualsiasi altro valore assegnabile alle lettere.
Nota. Generalmente, in un'uguaglianza l'espressione a sinistra dell'uguale è detta primo membro dell'identità. Quella a destra dell'uguale è detta secondo membro dell'identità.
Identità numerica
Un’identità numerica è un’uguaglianza sempre vera tra due numeri o due espressioni senza variabili, il cui valore è uguale per definizione o per calcolo.
In altre parole, è una relazione aritmetica che non cambia mai perché entrambi i membri rappresentano lo stesso numero.
Esempi
L'uguaglianza $5 = 5$ è ovviamente sempre vera, quindi è un'identità numerica.
Lo stessso vale per $3 + 2 = 7 - 2$ perché entrambi i membri dell'uguaglianza valgono 5.
Un altro esempio di identità è $ \sqrt{49} = 7$ che è vera perché per definizione la radice quadrata di 49 è 7.
Anche nel caso delle costanti si parla di identità numeriche.
Ad esempio, $\pi = \pi$ è vera perché $ \pi $ equivale a un numero ed è sempre uguale a se stesso.
A cosa servono? Le identità numeriche confermano uguaglianze note, sono usate come base logica per costruire dimostrazioni o semplificare espressioni, e rappresentano verità assolute nel calcolo. Ad esempio, se dico: $$
12 = 3 \cdot 4 $$ sto affermando un’identità numerica, perché entrambi i lati hanno lo stesso valore, sempre.
Identità matematica
Una identità matematica è un’uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili, che risulta vera per ogni valore assegnato alle variabili, nel dominio dell'equazione, a patto che entrambe le espressioni siano definite per quel valore.
In altre parole, mentre un’equazione è generalmente vera solo per alcuni valori (le sue soluzioni), un’identità è come una legge universale: funziona sempre, tranne nei casi in cui le espressioni perdono significato, ad esempio per una divisione per zero.
È alla base di molte semplificazioni algebriche.
Esempio
Considero l'equazione
$$ 2(x + 3) = 2x + 6 $$
Questa è un’identità, perché qualunque valore reale assegno alla $x$, la sinistra e la destra dell’uguaglianza producono lo stesso risultato.
Ad esempio $x = 4$, ottengo:
- $2(x+3) = 2(4 + 3) = 2 \cdot 7 = 14$
- $2x+6 = 2 \cdot 4 + 6 = 8 + 6 = 14$
Vale anche per $x = -2$, $x = 0$, $x = \pi$, ecc. È sempre verificata.
Esempio 2
In questo caso c'è una limitazione di dominio
$$ \frac{1}{x^2 - 2x + 1} = \frac{1}{(x - 1)^2} $$
Anche questa è un’identità, ma non vale per $x = 1$, perché lì il denominatore si annulla e l’espressione perde significato.
Quindi, è una identità nel dominio $ \mathbb{R} - {1} $.
Esempio 3
Il quadrato di un binomio è un'altra identità
$$ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 $$
Anche in questo caso, l'uguaglianza è vera per qualsiasi valore del dominio dell'equazione $ \mathbb{R} $.
Esempio 4
Per andare più sul complesso, anche $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ è un’identità.
E' una legge fondamentale della trigonometria.
Nota. Un'altra identità importante della trigonometria è $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ che è una identità nel suo dominio di definizione, cioè per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \,|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$, dove il denominatore non si annulla. Quindi, è una identità condizionata al dominio.
Come capire se una uguaglianza è un'identità
Metodo 1 (particolare)
Per capire se un'uguaglianza è una identità assegno dei valori alle lettere e confronto il risultato al primo e al secondo membro. Se il risultato è uguale per qualsiasi valore assegnato, l'uguaglianza è un'identità.
Ad esempio, considero l'uguaglianza
$$ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $$
Assegno x=2 e y=3 alle lettere nelle due espressioni e svolgo i calcoli algebrici.
$$ (2+3)^2 = 2^2+2 \cdot 2 \cdot 3+3^2 $$
$$ 5^2 = 4+12+9 $$
$$ 25 = 25 $$
Il risultato è 25 sia al primo membro che al secondo membro.
Quindi, l'uguaglianza potrebbe essere una identità.
Ora dovrei ripetere lo stesso procedimento per tutti gli altri valori assegnabili alle lettere x e y.
Nota. In base a questo metodo dovrei assegnare tutti le combinazioni possibili di valori alle lettere e confrontare il risultato dei due membri. Questo è ovviamente impossibile perché spesso le combinazioni sono infinite. Pertanto, questo metodo è semplice, intuitivo e utile per far capire il concetto di identità ...ma poco pratico.
Metodo 2 (generale)
Un'uguaglianza è un'identità se la differenza tra il primo e il secondo membro è uguale a zero.
Ad esempio, considero l'uguaglianza
$$ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $$
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni e sottraggo l'espressione al secondo membro in entrambi i membri.
$$ (x+y)^2 - (x^2+2xy+y^2) = (x^2+2xy+y^2) - (x^2+2xy+y^2) $$
$$ (x+y)^2 - x^2-2xy-y^2 = 0 $$
Poi svolgo i calcoli algebrici al primo membro. Calcolo il quadrato del binomio e semplifico.
$$ x^2+2xy+y^2 - x^2-2xy-y^2 = 0 $$
$$ \require{cancel} \cancel{x^2}+2xy+y^2 - \cancel{x^2}-2xy-y^2 = 0 $$
$$ \cancel{2xy}+y^2 - \cancel{2xy}-y^2 = 0 $$
$$ \cancel{y^2} - \cancel{y^2} = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
La differenza è nulla. Quindi, l'uguaglianza è una identità.
In questo modo dimostro che l'identità è soddisfatta per qualsiasi valore assegnabile alle lettere.
La condizione di esistenza dell'identità
Nel caso delle frazioni algebriche devo considerare anche la condizione di esistenza dell'identità.
Se almeno un'espressione non è definita in alcuni valori, anche l'identità non è definita per quei valori.
Ad esempio, considero l'identità
$$ \frac{xy}{y} = x $$
L'espressione al primo membro non è definita per y=0.
Quindi, anche l'identità non è definita per y=0.
In questo caso la condizione di esistenza (C.E.) dell'identità è y≠0
$$ C.E.: \ y \ne 0 $$
La differenza tra identità ed equazioni
In algebra l'identità e l'equazione sono concetti diversi.
- L'identità è una uguaglianza tra due espressioni algebriche soddisfatta per qualsiasi valore assegnabile alle lettere.
- L'equazione è un'eguaglianza tra due espressioni algebriche soddisfatta per uno o più valori assegnabili alle lettere.
Esempio 1
Questa relazione di uguaglianza è un'equazione perché è soddisfatta solo per i valori x=5 e x=-5.
$$ x^2 = 25 $$
Non è un'identità perché non è soddisfatta per tutti i valori assegnabili alla lettera x.
Nota. In algebra le identità sono un sottoinsieme delle equazioni perché un'identità è anche un'equazione. Un'equazione, invece, non è detto che sia anche un'identità. Ad esempio, questa equazione è anche un'identità. $$ x^2 = x \cdot x $$ Viceversa, questa equazione non è una identità. $$ 2x = x \cdot x $$ Va detto però che questo vale solo per le identità algebriche. Esistono altre identità, ad esempio le identità logiche, che non hanno nulla a che fare con le equazioni.
Le identità logiche
Un’identità logica è una formula della logica proposizionale che risulta sempre vera, indipendentemente dal valore di verità delle proposizioni che la compongono.
In altre parole, un'identità logica è una tautologia, ossia una proposizione composta che è vera per ogni possibile combinazione di verità/falsità delle sue variabili.
Sono per la logica ciò che le identità algebriche sono per l’algebra: regole sempre valide che permettono di riscrivere o trasformare espressioni senza cambiarne il significato.
Ecco alcuni esempi di identità logiche:
- Legge di idempotenza
Ripetere due volte la stessa proposizione con "oppure" o "e" non cambia il suo valore di verità.$$ p \lor p \equiv p \qquad \text{e} \qquad p \land p \equiv p $$ - Legge di doppia negazione
Negare una negazione equivale a tornare alla proposizione iniziale. $$ \neg(\neg p) \equiv p $$ - Leggi di De Morgan
La negazione di una congiunzione diventa una disgiunzione tra le negazioni, e viceversa. $$ \neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q $$ $$ \neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q $$ - Implicazione come disgiunzione
Dire "se p, allora q" è logicamente equivalente a dire "non p oppure q". $$ p \Rightarrow q \equiv \neg p \lor q $$
A cosa servono? Le identità logiche sono usate per semplificare espressioni logiche, dimostrare teoremi e verificare la correttezza di argomentazioni.
Note
Alcune note aggiuntive sulle identità
- Non tutte le equazioni indeterminate (con infinite soluzioni) sono identità
Un’equazione indeterminata è un’equazione con infinite soluzioni. Tuttavia, non tutte le equazioni indeterminate sono identità. Ad esempio, questa uguaglianza ha infinite soluzioni per $x \ge 0$ $$ |x| = x $$ Tuttavia, non è un’identità, perché non vale per ogni $x \in \mathbb{R}$. Per esempio, se $x = -2$ si ha $|-2| = 2$ ossia $ 2 = - 2 $ che è falsa. Quindi non è un’identità. - La differenza tra uguaglianza e identità
L’uguaglianza è una relazione mentre l'identità è una verità strutturale.- Uguaglianza: afferma che due espressioni hanno lo stesso valore in un certo contesto; può essere vera o falsa. Ad esempio: x2=4 è vera solo per x=±2.
- Identità: è un’uguaglianza sempre vera, per ogni valore ammesso delle variabili, per necessità logica o definizione. Ad esempio: x2=x⋅x.
E così via.
