Metodo della riduzione

Il metodo della riduzione si usa per risolvere i sistemi di equazioni tramite un'opportuna addizione (o sottrazione) membro a membro delle equazioni del sistema. $$ \begin{cases} a_1x_1 + b_1y_1 = c_1 \\ \\ a_2x_2 + b_2y_2 = c_2 \end{cases} $$

Si chiama metodo della riduzione perché l'addizione/sottrazione membro a membro riduce il numero delle variabili e delle equazioni del sistema di equazioni

Come funziona

1. Sommo o sottraggo membro a membro le equazioni del sistema per eliminare una delle variabili indipendenti $$ \begin{matrix} a_1x & +b_1y & =c_1 & + \\ a_2x & +b_2y & =c_2 & \\ \hline (a_1+a_2)x & +(b_1+b_2)y & = (c_1+c_2) \end{matrix} $$
2. Ricavo il valore della variabile indipendente restante (x o y)
3. Sostituisco il valore della variabile indipendente appena trovata per ricavare il valore dell'altra variabile del sistema.

Nota. Se la somma o la sottrazione non elimina una delle due variabili indipendenti, posso applicare la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplicando/dividendo entrambi i membri di un'equazione per un opportuno valore.

Il metodo risolutivo della riduzione posso usarlo per risolvere sistemi di primo grado di due o più equazioni con due o più incognite.

Un esempio pratico

Devo risolvere il sistema di equazioni con due variabili incognite x e y

$$ \begin{cases} 2x+y=4 \\ \\ 3x+2y=2 \end{cases} $$

La somma o la sottrazione membro a membro delle due equazioni non elimina nessuna variabile indipendente.

Nota. La somma membro a membro delle due equazioni è 5x+3y=6 $$ \begin{matrix} 2x & +y & =4 & + \\ 3x & +2y & =2 & \\ \hline 5x & +3y & = 6 \end{matrix} $$ La sottrazione membro a membro è $$ \begin{matrix} 2x & +y & =4 & - \\ 3x & +2y & =2 & \\ \hline x & -y & = 2 \end{matrix} $$

Guardando il sistema mi accorgo che il coefficiente della y nella prima equazione è la metà del coefficiente della y nella seconda equazione.

$$ \begin{cases} 2x+y=4 \\ \\ 3x+2y=2 \end{cases} $$

Applico la proprietà invariantiva dell'equazione moltiplicando per due entrambi i membri della prima equazione del sistema.

$$ \begin{cases} 2 \cdot (2x+y)= 2 \cdot 4 \\ 3x+2y=2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 4x+2y= 8 \\ 3x+2y=2 \end{cases} $$

Ora il coefficiente della variabile y è uguale in entrambe le equazioni del sistema.

Nota. La scelta della variabile da eliminare è indifferente. In genere si sceglie quella che si può eliminare più facilmente dal sistema.

A questo punto sottraggo membro a membro le due equazioni del sistema.

$$ \begin{matrix} 4x & +2y & =8 & - \\ 3x & +2y & =2 & \\ \hline x & & = 6 \end{matrix} $$

Dopo questa operazione il sistema si riduce a una sola equazione con una variabile perché la y si annulla.

Questo mi permette di ricavare il valore della variabile restante x.

$$ x=6 $$

Nota. In questo caso non occorre nessun calcolo algebrico per ottenere il valore della variabile x. In altri casi è necessario svolgere alcuni passaggi algebrici per ottenerlo. I calcoli sono comunque semplici perché si tratta pur sempre di un'equazione con una sola variabile.

Una volta trovato il valore della variabile x=6, lo sostituisco in una delle due equazioni del sistema iniziale per ricavare la variabile y.

$$ \begin{cases} 2x+y=4 \\ \\ 3x+2y=2 \\ \\ x=6 \end{cases} $$

Ad esempio, sostituisco x=6 nella prima equazione ed elimino la seconda.

$$ \begin{cases} 2(6)+y=4 \\ \\ \require{cancel} \cancel{3x+2y=2} \\ \\ x=6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 12+y=4 \\ \\ x=6 \end{cases} $$

Nota. La scelta dell'equazione in cui sostituire x=6 è indifferente. Avrei potuto scegliere la seconda equazione ed eliminare la prima. Il risultato finale sarebbe stato lo stesso. In genere scelgo quella che mi consente di ottenere la y con meno o più semplici passaggi algebrici. Le altre equazioni posso eliminarle.

Questo mi permette di ricavare il valore di equilibrio della variabile y=-8

$$ \begin{cases} y=4-12 \\ \\ x=6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=-8 \\ \\ x=6 \end{cases} $$

Pertanto, la soluzione del sistema di equazioni è x=6 e y=-8.

E così via.