Come trasformare un sistema lineare in un sistema a gradini
Per trasformare un sistema di equazioni lineari in un sistema di equazioni a gradini seguo le regole di Gauss
- Un sistema di equazioni lineare è equivalente se
- Sommo un'equazione a un'altra equazione moltiplicata per una costante non nulla
- Moltiplico un'equazione per una costante non nulla
- Scambio la posizione di due equazioni nel sistema
Un esempio pratico
Ho il sistema di equazioni lineari
$$ \begin{cases} x+y+z = 1 \\ x+z=1 \\ x+y=2 \end{cases} $$
Scrivo la matrice completa A|B (coefficienti e termini noti) e la matrice dei coefficienti A del sistema lineare
$$ A|B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
La matrice dei coefficienti A non è una matrice a gradini
Quindi, devo trasformare il sistema lineare in un sistema a gradini usando le regole di Gauss
Il primo passo consiste nel sistemare la prima colonna della matrice completa A|B dove ci sono due valori (in rosso) da eliminare
$$ A|B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \color{red}1 & 0 & 1 & 1 \\ \color{red}1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Sommo la prima equazione (riga R1) moltiplicata per -1 alla seconda equazione (riga R2)
$$ R2 = R2 + R1 \cdot (-1) $$
$$ A|B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \color{red}1-1 & 0-1 & 1-1 & 1-1 \\ \color{red}1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ A|B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ \color{red}1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Ora sommo la prima riga R1 moltiplicata per -1 alla terza riga R3
$$ R3 = R3 + R1 \cdot (-1) $$
$$ A|B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ \color{red}1-1 & 1-1 & 0-1 & 2-1 \end{pmatrix} $$
$$ A|B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$
Ora la matrice dei coefficienti A è una matrice a gradini
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$
Nota. Una volta trasformata la matrice completa A|B per ottenere la matrice dei coefficienti A basta eliminare l'ultima colonna. L'ultima colonna della matrice completa A|B è il vettore dei termini noti B.
Per calcolare il rango delle due matrici conto il numero dei gradini.
Sia la matrice completa A|B che la matrice dei coefficienti hanno tre gradini.
Quindi, il rango della matrice completa A|B e della matrice dei coefficienti è uguale r=3
$$ r(A) = r(A|B)= 3 $$
Secondo il teorema di Rouché-Capelli questo vuol dire che il sistema di equazioni lineari è risolvibile.
Sapendo che il sistema di equazioni ha n=3 equazioni, il sistema ha una e una sola soluzione
$$ \infty^{n-r} = \infty^{3-3} = \infty^0 = 1 \ soluzione $$
Scrivo il sistema di equazioni equivalente a gradini a partire dalla matrice completa A|B che ho appena ottenuto dopo le trasformazioni
$$ A|B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{cases} x+y+z=1 \\ -y=0 \\ -z=1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x+y+z=1 \\ y=0 \\ z=-1 \end{cases} $$
Essendo un sistema a gradini la soluzione è molto semplice.
In questo caso già due variabili su tre sono risolte. Per risolvere il sistema mi basta sostituire y=0 e z=-1 alla prima equazione
$$ \begin{cases} x+0-1=1 \\ y=0 \\ z=-1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x=1+1 \\ y=0 \\ z=-1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x=2 \\ y=0 \\ z=-1 \end{cases} $$
In conclusione, le soluzioni del sistema di equazioni sono x=2, y=0 e z=-1
Verifica. Il sistema lineare iniziale è $$ \begin{cases} x+y+z = 1 \\ x+z=1 \\ x+y=2 \end{cases} $$ sostituisco x=2, y=0 e z=-1 nel sistema $$ \begin{cases} 2+0+(-1) = 1 \\ 2+(-1)=1 \\ 2+0=2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 1 = 1 \\ 1=1 \\ 2=2 \end{cases} $$ Tutte le identità sono soddisfatte. La soluzione del sistema è corretta.
E così via.
