Le leggi di cancellazione
In matematica esistono due leggi di cancellazione
La prima legge di cancellazione
Un'equazione non cambia se sottraggo un numero k da entrambi i membri $$ a = b \ \Longleftrightarrow \ a - k = b - k $$ Lo stesso vale nelle disequazioni $$ a < b \ \Longleftrightarrow \ a - k < b - k $$ $$ a > b \ \Longleftrightarrow \ a - k > b - k $$
Questa regola di cancellazione si basa sul primo principio di equivalenza delle equazioni.
Esempio 1
Ho l'equazione $$ 2+6+3 = 1+6+4 $$ Se sottraggo 6 da entrambi i membri la relazione di uguaglianza resta valida $$ 2+6+3 \color{red}{- 6} = 1+6+4 \color{red}{- 6} $$ $$ 2+3 = 1+4 $$ Il risultato finale è un'equazione equivalente.
Esempio 2
Considero l'equazione $$ 2x-4 = 10-4 $$ Se sommo +4 in entrambi ottengo un'equazione equivalente più semplice da risolvere $$ 2x-4 \color{red}{+4} = 10 - 4 \color{red}{+4} $$ $$ 2x = 10 $$ In questo modo ho semplificato l'equazione iniziale.
La seconda legge di cancellazione
Un'equazione non cambia se divido entrambi i membri per uno stesso numero k≠0 diverso da zero. $$ a = b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} = \frac{b}{k} $$ Nel caso delle disequazioni devo distinguere se k è positivo o negativo.
Se il numero k è positivo k>0 la relazione resta la stessa. $$ a < b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} < \frac{b}{k} \ \ con \ k>0 $$ $$ a > b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} > \frac{b}{k} \ \ con \ k>0 $$
Se il numero k è negativo k<0 la relazione di disuguaglianza si inverte. $$ a < b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} > \frac{b}{k} \ \ con \ k<0 $$ $$ a > b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} < \frac{b}{k} \ \ con \ k<0 $$
Questa regola di cancellazione è l'applicazione del secondo principio di equivalenza.
Esempio 1
Ho l'equazione $$ 2+4+6 = 6+8-2 $$ $$ 12=12 $$ Se divido entrambi i membri per due la relazione di uguaglianza resta valida $$ \frac{2+4+6}{2} = \frac{6+8-2}{2} $$ $$ \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{6}{2} = \frac{6}{2} + \frac{8}{2} - \frac{2}{2} $$ $$ 1+2+3 = 3+4-1 $$ $$ 6 = 6 $$
Esempio 2
Ho la disequazione $$ 2+4+6 < 6+10-2 $$ $$ 12<14 $$ Se divido entrambi i membri per due la relazione di disuguaglianza resta valida nello stesso verso perché il divisore è un numero positivo $$ \frac{2+4+6}{2} < \frac{6+10-2}{2} $$ $$ \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{6}{2} < \frac{6}{2} + \frac{10}{2} - \frac{2}{2} $$ $$ 1+2+3 < 3+5-1 $$ $$ 6 < 7 $$
Esempio 3
Ho la disequazione $$ 4+4+6 > 6+10-4 $$ $$ 14 >12 $$ Se divido entrambi i membri per meno due (-2) la relazione di disuguaglianza resta valida nel verso opposto perché il divisore è un numero negativo $$ \frac{4+4+6}{-2} < \frac{6+10-4}{-2} $$ $$ \frac{4}{-2} + \frac{4}{-2} + \frac{6}{-2} < \frac{6}{-2} + \frac{10}{-2} - \frac{4}{-2} $$ $$ -2-2-3 < -3-5+2 $$ $$ -7 < -6 $$
Nota. Le leggi di cancellazione sono l'inverso delle leggi di monotonia. Le leggi di monotonia sono applicate all'addizione e alla moltiplicazione. Le leggi di cancellazione, invece, alla sottrazione e alla divisione.
E così via.
