Le leggi di cancellazione
In matematica esistono leggi di cancellazione, utili per semplificare le equazioni eliminando termini comuni da entrambi i membri.
Dati tre numeri reali $ a , b, c $
- se $ a+c $ è uguale a $ b+c $ allora $ a=b $ sono uguali. $$ a+c=b+c \Leftrightarrow a=b $$
- se $ ac $ è uguale a $ bc $, con $ c \ne 0 $ diverso da zero, allora $ a=b $ sono uguali. $$ ac=bc \Leftrightarrow a=b $$
In altre parole, nella legge di cancellazione dell'addizione se due somme sono uguali e hanno uno stesso termine ( $ c $ ), questo può essere eliminato da entrambi i membri dell’equazione
$$ a+c=b+c \Leftrightarrow a=b $$
Nella legge di cancellazione del prodotto se due prodotti sono uguali e hanno uno stesso fattore in comune ( $ c $ ), questo può essere eliminato da entrambi i membri dell'equazione a patto che non sia zero.
$$ ac=bc \Leftrightarrow a=b $$
Il risultato finale è un'equazione equivalente ossia con lo stesso insieme di soluzioni.
Le leggi di cancellazione sono l'inverso delle leggi di monotonia.
Nota. La legge di cancellazione è una regola utile per semplificare e snellire i calcoli in algebra. Tuttavia, va usata con cautela, ricordando sempre che nel prodotto, il fattore cancellato non deve essere zero. Inoltre, posso cancellare solo termini identici presenti nello stesso modo (somma o prodotto)
La prima legge di cancellazione
Dati tre numeri reali $ a , b, c $, se $ a+c $ è uguale a $ b+c $ allora $ a=b $ sono uguali. $$ a+c=b+c \Leftrightarrow a=b $$
Questa regola di cancellazione si basa sul primo principio di equivalenza delle equazioni.
Un'equazione non cambia se sottraggo un numero k da entrambi i membri $$ a = b \ \Longleftrightarrow \ a - k = b - k $$ Lo stesso vale nelle disequazioni $$ a < b \ \Longleftrightarrow \ a - k < b - k $$ $$ a > b \ \Longleftrightarrow \ a - k > b - k $$
Esempio 1
Ho l'equazione
$$ 2+6+3 = 1+6+4 $$
Il termine +6 è sia a sinistra che a destra, quindi posso cancellarlo.
$$ \require{cancel} 2 \cancel{+6} +3 = 1 \cancel{+6} +4 $$
$$ 2+3=1+4 $$
Nota. Se sottraggo 6 da entrambi i membri la relazione di uguaglianza resta valida $$ 2+6+3 \color{red}{- 6} = 1+6+4 \color{red}{- 6} $$ $$ 2+3 = 1+4 $$ Il risultato finale è un'equazione equivalente.
Esempio 2
Considero l'equazione
$$ 2x-4 = 10-4 $$
Il termine $ -4 $ appare in entrambe le parti delle equazioni, quindi posso cancellarlo
$$ 2x \cancel{-4} = 10 \cancel{-4} $$
$$ 2x = 10 $$
Nota. Se sommo +4 in entrambi ottengo un'equazione equivalente più semplice da risolvere $$ 2x-4 \color{red}{+4} = 10 - 4 \color{red}{+4} $$ $$ 2x = 10 $$ In questo modo ho semplificato l'equazione iniziale.
La seconda legge di cancellazione
Dati tre numeri reali $ a , b, c $ se $ ac $ è uguale a $ bc $, con $ c \ne 0 $ diverso da zero, allora $ a=b $ sono uguali. $$ ac=bc \Leftrightarrow a=b $$
Questa regola di cancellazione è l'applicazione del secondo principio di equivalenza.
Un'equazione non cambia se divido entrambi i membri per uno stesso numero k≠0 diverso da zero. $$ a = b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} = \frac{b}{k} $$
Esempio 1
Considero l'equazione
$$ 2 \cdot (1+2+3) = 2 \cdot (3+4-1) $$
Entrambi i membri sono moltiplicati per 2, quindi posso cancellare il fattore 2.
$$ \cancel{2} \cdot (1+2+3) = \cancel{2} \cdot (3+4-1) $$
$$ 1+2+3 = 3+4-1 $$
$$ 6 = 6 $$
Il risultato è un'equazione equivalente
Nota. Ho l'equazione $$ 2 \cdot (1+2+3) = 2 \cdot (3+4-1) $$ In questo caso applico i principi di equivalenza, se divido entrambi i membri per due la relazione di uguaglianza resta valida $$ \frac{ 2 \cdot (1+2+3) }{2} = \frac{ 2 \cdot (3+4-1) }{2} $$ $$ 1+2+3 = 3+4-1 $$ $$ 6 = 6 $$
Esempio 2
Considero l'equazione
$$ \frac{x+2}{2} = \frac{3}{2} $$
Entrambi i membri dell'equazione sono divisi per due. Quindi, posso eliminare il denominatore comune.
$$ \frac{x+2}{\cancel{2} } = \frac{3}{\cancel{2} } $$
$$ x+2 = 3 $$
Il risultato è un'equazione equivalente
Nota. Ho l'equazione $$ \frac{x+2}{2} = \frac{3}{2} $$ Applico i principi di equivalenza e moltiplico entrambi i membri dell'equazione per 2. Poi semplifico. $$ \frac{x+2}{2} \cdot 2 = \frac{3}{2} \cdot 2 $$ $$ x+2 = 3 $$ Il risultato è lo stesso.
Note
Alcune note aggiunte e osservazioni sulle leggi di cancellazione:
- Quando non si può usare la cancellazione
La legge di cancellazione del prodotto non si può usare se il fattore è zero. Se $ c=0 $ la cancellazione non è valida perché $ 0⋅a=0⋅b $ è sempre vera, anche se $ a≠b $Ad esempio, questa uguaglianza è sempre vera $$ 2 \cdot 0 = 5 \cdot 0 $$ Se elimino il prodotto per zero da entrambi da entrambi i membri dell'equazione ottengo una contraddizione $$ 2 \cancel{ \cdot 0} = 5 \cancel{ \cdot 0} $$ $$ 2 = 5 $$ Il risultato non è vero.
- Differenza tra le legge di cancellazione e i principi di equivalenza
In algebra, leggi di cancellazione e principi di equivalenza sono due concetti diversi, anche se spesso vengono usati insieme nella risoluzione delle equazioni. Vediamo in cosa differiscono.- Legge di cancellazione: elimina lo stesso termine presente su entrambi i lati dell’equazione (es. togliere +7 da entrambi i lati).
- Principi di equivalenza: permettono di eseguire operazioni uguali su entrambi i lati per trasformare l’equazione in una forma equivalente, anche senza termini identici da cancellare. Ad esempio, moltiplicare entrambi i lati di un equazione per 2.
E così via.
