Equazioni lineari
Un'equazione lineare è un'equazione di primo grado con un'incognita $$ a \cdot x = b $$ o più incognite $$ a \cdot x + b \cdot y = c $$.
Equazione lineare con una incognita
La soluzione di un'equazione lineare con un'incognita ax=b è un valore da assegnare alla variabile x che rende uguale il primo e il secondo membro dell'equazione.
Esempio. L'equazione lineare $$ 6 = x \cdot 3 $$ ha una soluzione x=2 che si ottiene esplicitando la x rispetto al resto. $$ x = \frac{6}{3} $$ $$ x = 2 $$
Equazione lineare con due incognite
Nelle equazioni lineari con due incognite
$$ a \cdot x + b \cdot y = c $$
la soluzione è una coppia di valori (x;y) che eguaglia il primo e il secondo membro.
Esempio. L'equazione lineare $$ 2y + x = 6 $$ ha infinite soluzioni. Le posso trovare esplicitando la y rispetto alla x $$ y = \frac{6-x}{2} $$ Una volta trovata l'equazione esplicita, basta assegnare un qualsiasi valore alla x per ottenere il valore corrispondente della variabile y. Ecco alcune soluzioni: (0;3) , (2;2) , (6;0), ecc.
Le equazioni lineari a due variabili hanno infinite soluzioni. Quindi, sono equazioni indeterminate.
Come risolvere un'equazione di primo grado
Un’equazione di primo grado numerica intera nell’incognita $x$ è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche in cui l’incognita compare al massimo con esponente 1. Ha la forma generale:
$$ ax + b = cx + d $$
Dove $a, b, c, d$ sono numeri interi (coefficienti positivi, negativi o nulli) e $x$ è l’incognita da determinare.
Vediamo, passo per passo, come si risolve questo tipo di equazione.
1] Svolgere i calcoli e rendere interi i coefficienti
Se nell’equazione compaiono delle frazioni, il primo passo è eliminare i denominatori.
Trovo il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori e moltiplico entrambi i membri per questo valore.
In questo modo si ottiene un’equazione con soli coefficienti interi.
Esempio. Considero l'equazione iniziale $$ \frac{2}{3}x - \frac{5}{2} = \frac{1}{6}x + 1 $$ Il m.c.m. dei denominatori $3, 2, 6$ è 6. Moltiplico entrambi i membri per 6: $$ 6 \cdot \left(\frac{2}{3}x - \frac{5}{2}\right) = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}x + 1\right) $$ Svolgo i calcoli: $$ 4x - 15 = x + 6 $$ Ora l’equazione ha coefficienti interi.
2] Trasportare i termini con $x$ a un membro e i numeri all’altro
Sposto tutti i termini contenenti $x$ al primo membro dell'equazione e i termini numerici al secondo membro, cambiando di segno quelli trasportati.
Poi riduco eventuali termini simili.
Esempio. Riprendo l’equazione precedente: $$ 4x - 15 = x + 6 $$ Trasporto $x$ al primo membro e $-15$ al secondo: $$ 4x - x = 6 + 15 $$ Riducendo i termini simili ottengo: $$ 3x = 21 $$
3] Risolvere l’equazione del tipo $ax = b$
L’equazione ora è ridotta alla forma $ax = b$.
A questo punto, si risolve facilmente dividendo entrambi i membri per il coefficiente di $x$.
Esempio. Partendo da: $$ 3x = 21 $$ Divido per 3: $$ x = \frac{21}{3} $$ Quindi, la soluzione dell'equazione è: $$ x = 7 $$
4] Verifica
Una volta ottenuta la soluzione, è sempre buona norma sostituire il valore trovato nell’equazione iniziale per verificare che sia corretto.
Esempio. Sostituisco $x = 7$ nell’equazione iniziale: $$ \frac{2}{3} \cdot 7 - \frac{5}{2} = \frac{1}{6} \cdot 7 + 1 $$ Calcolo entrambi i membri: $$ \frac{14}{3} - \frac{5}{2} = \frac{7}{6} + 1 $$ Trasformo in numeri decimali per semplicità: $$
4.\overline{6} - 2.5 = 1.16\overline{6} + 1 $$ $$ 2.16\overline{6} = 2.16\overline{6} $$ La verifica è soddisfatta.
Seguendo questi tre passi si può risolvere qualsiasi equazione di primo grado numerica intera nell’incognita $x$.
Le equazioni determinate, indeterminate e impossibili
Un'equazione di primo grado $ ax = b $ può essere
- Determinata
Se ha una sola soluzione reale $ x = \frac{b}{a} $. Si verifica quando $ a \ne 0 $ e $ b \ne 0 $. - Indeterminata
Se ha infinite soluzioni, ossia è sempre vera per ogni $ x $. Si verifica se $ a=0 $ e $ b= 0 $. $$ 0 \cdot x = 0 $$ - Impossibile
Se non ha alcuna soluzione. Si verifica se $ a=0 $ e $ b \ne 0 $ $$ 0 \cdot x = b $$

Un’equazione di primo grado è determinata quando possiede una sola soluzione reale.
In questi casi il coefficiente della variabile è diverso da zero, perciò possiamo risolvere dividendo entrambi i membri per quel coefficiente.
Ad esempio, considero l'equazione di 1°: $$ 2x = 10 $$ In questo caso $ a=2 $ e $ b = 10 $. Divido per 2 e ottengo: $$ x = \frac{10}{2} = 5 $$ L'equazione ha una sola soluzione, $x = 5$.
Un’equazione è indeterminata (o identità) quando è vera per ogni valore reale di $x$.
Questo accade, ad esempio, se la variabile è moltiplicata per zero ( $ a= 0 $ ) e il secondo membro è anch’esso zero ( $ b = 0 $ ).
Ad esempio, questa equazione è una identità $$ 0 \cdot x = 0 $$ Qualsiasi valore di $x$ moltiplicato per zero dà zero, quindi ogni numero reale è soluzione. Pertanto, l’insieme delle soluzioni è $\mathbb{R}$.
Un’equazione è impossibile quando nessun valore di $x$ la verifica.
Succede, ad esempio, se la variabile è moltiplicata per zero $ ( a=0 $), ma il secondo membro è diverso da zero ( $ b \ne = 0 $ ) ossia $ 0 \cdot x = b $
Ad esempio, questa equazione è impossibile $$ 0 \cdot x = 5 $$ Qualunque numero moltiplicato per zero dà zero, mai 5. Nessuna soluzione esiste. In questo caso, l’insieme delle soluzioni è vuoto $\varnothing$.
E così via.