Le equazioni esponenziali
Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui la variabile incognita si trova almeno in una potenza $$ a^x = b $$
Non esiste un metodo generale per trovare la soluzione delle equazioni esponenziali.
Tuttavia, se entrambi i membri dell'equazione sono potenze con la stessa base posso ottenere la variabile incognita studiando l'equazione degli esponenti.
Nota. Se l'equazione esponenziale ammette una e una sola soluzione è detta equazione esponenziale determinata. Viceversa, se non ammette soluzioni oppure ammette infinite soluzioni è detta equazione esponenziale indeterminata.
Un esempio pratico
Un esempio di equazione esponenziale è la seguente
$$ 9^{2x} = 27 $$
Riscrivo i termini dell'equazione con la stessa base
$$ (3^2)^{2x} = 3^3 $$
$$ 3^{2 \cdot 2x} = 3^3 $$
$$ 3^{4x} = 3^3 $$
Se in un'equazione esponenziale le basi sono uguali, allora anche gli esponenti sono uguali.
$$ 4x = 3 $$
In questo modo posso ricavare la variabile incognita
$$ x = \frac{3}{4} $$
Questa è la soluzione dell'equazione esponenziale.
Essendoci una soluzione, si tratta di un'equazione esponenziale determinata.
Le equazioni esponenziali indeterminate
L'equazione esponenziale è detta indeterminata se non ammette soluzioni oppure ne ammette infinite.
Un'equazione esponenziale si può risolvere soltanto se la potenza è definita.
Ad esempio, la potenza di un numero positivo non potrà mai essere uguale a un numero negativo.
$$ 3^x = - 9 $$
In questo caso si parla di equazione esponenziale indeterminata.
Si parla di equazione esponenziale indeterminata anche se l'equazione ammette infinite soluzioni.
Ad esempio, la potenza di 1 elevato a x è sempre uguale a 1 per qualsiasi valore di x.
$$ 1^x = 1 $$
Quest'ultima equazione ha infinite soluzioni.
Anche in questo caso si parla di equazione esponenziale indeterminata.
Come risolvere le equazioni esponenziali con i logaritmi
In alcuni casi le equazioni esponenziali posso risolverle usando i logaritmi.
Posso adottare questa tecnica soltanto se entrambi i membri dell'equazione sono numeri positivi, poiché il logaritmo di un numero negativo o nullo non esiste.
Esempio
L'equazione esponenziale
$$ 9^{2x} = 27 $$
Sono entrambi numeri positivi, quindi posso procedere.
Applico il logaritmo su base 3 a entrambi i membri
$$ \log_3 9^{2x} = \log_3 27 $$
Per la proprietà dei logaritmi la x esce dal logaritmo
$$ 2x \log_3 9 = \log_3 27 $$
Quindi, ricavo la x
$$ 2x = \frac{ \log_3 27 }{ \log_3 9 } $$
Sapendo che il logaritmo su base tre di 27 è 3
$$ 2x = \frac{ 3 }{ \log_3 9 } $$
e che il logaritmo su base nove di 9 è 2
$$ 2x = \frac{ 3 }{ 2 } $$
Infine, divido entrambi i membri dell'equazione per due
$$ 2x \cdot \frac{1}{2} = \frac{ 3 }{ 2 } \cdot \frac{1}{2} $$
$$ x = \frac{ 3 }{ 4 } $$
Il risultato finale è lo stesso.
E così via.
